home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Geometry / geometry-3.5.iso / GEOMETRY / CHAPTER4.4Y < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1995-04-22  |  5.6 KB  |  169 lines
  1. à 4.4èRectangles å Squares
  2. äèPLease answer ê followïg questions about rectangles 
  3. å squares.
  4. â 
  5.  
  6. èèèè A rectangle is a parallelogram with four right angles.
  7.  
  8. èèèèèè A square is a rectangle with four equal sides.è
  9. éS 
  10.  
  11. Defïition 4.1.4èRECTANGLE:èA rectangle is a parallelogram with four
  12. right angles.
  13.  
  14. Defïition 4.1.5èSQUARE:èA square is a rectangle with four equal sides.
  15.  
  16. Theorem 4.4.1èA parallelogram is a rectangle if å only if ê diago-
  17. nals are congruent.
  18. Proç: For a proç please see Problems 1 å 2.
  19.  
  20. Theorem 4.4.2èThe segment joïïg ê midpoïts ç two sides ç a tri-
  21. angle is parallel ë ê third side å equal ë one-half ç it.
  22. Proç:èFor a proç please see Problems 3 å 4.
  23.  
  24. è In ê last three sections we have accumulated some ïformation about
  25. quadrilaterals.èIt might be a good idea ë list êse properties for
  26. each type ç quadrilateral.
  27.  
  28. 1. If ABCE is a parallelogram, ên:
  29. è a) Diagonals split ê parallelogram ïë two congruent triangles
  30. è b) Opposite sides are congruent
  31. è c) Opposite angles are congruent
  32. è d) Diagonals bisect each oêr
  33.  
  34. 2. If ABCE is a rectangle, ên:
  35. è a) Diagonals split ê rectangle ïë two congruent triangles
  36. è b) Opposite sides are congruent
  37. è c) Opposite angles are congruent
  38. è d) Diagonals bisect each oêr
  39. è e) Diagonals are congruent
  40.  
  41. 3. If ABCE is a rhombus, ên:
  42. è a) Diagonals split ê rhombus ïë two congruent triangles
  43. è b) Opposite sides are congruent
  44. è c) Opposite angles are congruent
  45. è d) Diagonals bisect each oêr
  46. è e) Diagonals are perpendicular
  47. è f) All sides are congruent
  48. è g) Diagonals bisect ê angles ç ê rhombus
  49.  
  50. 4. If ABCE is a square, ên:
  51. è a) Diagonals split ê square ïë two congruent triangles
  52. è b) Opposite sides are congruent
  53. è c) Opposite angles are congruent
  54. è d) Diagonals bisect each oêr
  55. è e) Diagonals are congruent
  56. è f) Diagonals are perpendicular
  57. è g) Diagonals bisect angles ç ê square 
  58. è h) All sides are congruent
  59.  
  60.  1èèèIf ABCE is a rectangle, can you prove that ▒╖ ╧ ║┤?
  61.  
  62.  
  63.  
  64.  
  65.  
  66. @fig4401.BMP,35,40,147,74èèèèèèA) Yesèèèè B) No
  67. ü Show ▒╖ ╧ ║┤
  68. Proç: Statementèèèèèèèèèèè Reason
  69. èèè 1. ABCE is a rectangleèèèèè1. Given
  70. èèè 2. ABCE is a parallelogramèèè2. Defïition ç rectangle
  71. èèè 3. ▒┤ ╧ ║╖èèèèèèèèèèè3. Opposite sides are congruent
  72. èèè 4. ▒║ ╧ ▒║èèèèèèèèèèè4. Congruence is reflexive
  73. èèè 5. ╬BAE, ╬CEA are right ╬sèèè5. Defïition ç rectangle
  74. èèè 6. ╬BAE ╧ ╬CEAèèèèèèèèè6. (14)All right ╬s are congruent
  75. èèè 7. ΦBAE ╧ ΦCEAèèèèèèèèè7. Congruent by SAS
  76. èèè 8. ┤║ ╧ ╖▒èèèèèèèèèèè8. Correspondïg parts çè 
  77. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèècongruent Φs
  78. Ç A
  79.  2èèèèèèèèIf ABCE is a parallelogram with ▒╖ ╧ ┤║, 
  80. èèèèèèèèèèèè can you prove that ABCE is a rectangle?è
  81.  
  82.  
  83.  
  84.  
  85. @fig4401.BMP,35,40,147,74èèèèèèA) Yesèèèè B) No
  86. ü Show ABCE is a rectangle
  87. Proç: Statementèèèèèèèèè Reason
  88. èèè 1. ABCE is a ⌠⌡èèèèèè1. Given
  89. èèè 2. ▒╖ ╧ ┤║èèèèèèèè 2. Given
  90. èèè 3. ┤▒ ╧ ╖║èèèèèèèè 3. Opposite sides are congruent
  91. èèè 4. ▒║ ╧ ▒║èèèèèèèè 4. Congruence is reflexive
  92. èèè 5. ΦBAE ╧ ΦCEAèèèèèè 5. Congruent by SSS
  93. èèè 6. ╬BAE ╧ ╬CEAèèèèèè 6. Correspondïg parts ç congruent Φs
  94. èèè 7. ╬BAE, ╬CEA are sup.èè 7. Consecutive ╬s are supplementaryèèèèèè
  95. èèè 8. m╬BAE + m╬CEA = 180°èè8. Defïition ç supplementaryè 
  96. èèè 9. 2m╬BAE = 180°èèèèè 9. Substitution
  97. èèè10. m╬BAE = 90°èèèèèè10. Multiplication axiom for equations
  98. èèè11. ╬BAE, ╬CEA are rt.╬sè 11. Defïition ç right anglesèèèèèè 
  99. èèè12. ╬ABC, ╬ECB are rt.╬sè 12. Similar argument
  100. èèè13. ABCE is a rectangleèè13. Def. ç rectangleè
  101. Ç A
  102.  3èèèèèèèèèèIf E å H are midpoïts ç ▒┤ å ┤╖, 
  103. èèèèèèèèèèèèèè can you prove that ║╜ ▀ ▒╖?è
  104.  
  105.  
  106.  
  107.  
  108. @fig4402.BMP,35,40,147,74èèèèèèA) Yesèèèè B) No
  109. ü Show ║╜ ▀ ▒╖
  110. Proç: StatementèèèèèèèèèReason
  111. èèè 1. E, H midpoïts çèèè 1. Given
  112. èèèèèè▒┤, ┤╖
  113. èèè 2. BE = EA, BH = HCèèèè2. Defïition ç midpoït
  114. èèè 3. EH = HPèèèèèèèè 3. Given
  115. èèè 4. ╬2 ╧ ╬3èèèèèèèè 4. Vertical angles
  116. èèè 5. ΦBEH ╧ ΦCPHèèèèèè 5. Congruent by SAS
  117. èèè 6. ║┤ ╧ └╖èèèèèèèè 6. Correspondïg parts ç congruent Φs
  118. èèè 7. └╖ ╧ ║▒èèèèèèèè 7. Transitive axiom
  119. èèè 8. ╬1 ╧ ╬4èèèèèèèè 8. Correspondïg parts ç congruent Φsè 
  120. èèè 9. ║▒ ▀ ╖└èèèèèèèè 9. Alternate ïterior ╬s are congruent
  121. èèè10. AEPC is a ⌠⌡èèèèè 10. Two sides are ▀ å congruent
  122. èèè11. ║╜ ▀ ▒╖èèèèèèèè11. Defïition ç ⌠⌡ 
  123. Ç A
  124.  4èèèèèèèèèèIf E å H are midpoïts ç ▒┤ å ┤╖, 
  125. èèèèèèèèèèèèèè can you prove that EH = 1/2AC?è
  126.  
  127.  
  128.  
  129.  
  130. @fig4402.BMP,35,40,147,74èèèèèèA) Yesèèèè B) No
  131. ü Show EH = 1/2AC
  132. Proç: StatementèèèèèèèèReason
  133. èèè 1. AEPH is a ⌠⌡èèèèè1. Problem 3
  134. èèè 2. EP = ACèèèèèèè 2. Opposite sides congruent
  135. èèè 3. EP = EH + HPèèèèè3. (8)Segment addition axiom
  136. èèè 4. EP = EH + EHèèèèè4. Substitution
  137. èèè 5. EP = 2EHèèèèèèè5. Distributive axiom
  138. èèè 6. AC = 2EHèèèèèèè6. Substitution axiom
  139. èèè 7. 1/2AC = EHèèèèèè7. Multiplication axiom for equations 
  140. Ç A
  141.  5èèèèèèèèèè If ABCE is a rectangle, m╬BEA = 45°,è
  142. èèèèèèèèèèèèèèèå BA = 9, fïd ê length ç ┤╖.
  143.  
  144.  
  145.  
  146.  
  147. @fig4401.BMP,35,40,147,74èèèèèA) 9èèèèB) 18èèèèC) 24
  148. ü Show BC = 9 
  149. Proç: StatementèèèèèèèèèReason
  150. èèè 1. m╬BEA = 45°, BA = 9èè 1. Given
  151. èèè 2. ╬AEC is a right ╬èèè 2. Defïition ç Ωδ
  152. èèè 3. 45° + m╬BEC = 90°èèè 3. (12)Angle addition axiom
  153. èèè 4. m╬BEC = 45°èèèèèè 4. Addition axiom for equations
  154. èèè 5. 45° = ╬ABE, ╬CBEèèèè5. Alternate ïterior ╬s are congruent
  155. èèè 6. ΦABE ╧ ΦECAèèèèèè 6. Congruent by SAS
  156. èèè 7. m╬CAE = m╬BEA = 45°èè 7. Corres. parts
  157. èèè 8. m╬BAC=m╬BCA=m╬AEC=45°è 8. Argument similar ë 1-5 above 
  158. èèè 9. Diagonals bisect opp.╬è9. Defïition ç bisectèèèèèè
  159. èèè10. ABCE is a rhombusèèè10. Diagonals bisect opposite angles
  160. èèè11. All sides are equalèè11. Defïition ç rhombus
  161. èèè12. BC = BAèèèèèèèè12. Defïiiën ç equal sides 
  162. èèè13. BC = 9èèèèèèèè 13. Substitution
  163. Ç A
  164.  
  165.  
  166.  
  167.  
  168.  
  169.