home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Geometry / geometry-3.5.iso / GEOMETRY / CHAPTER3.5Y < prev    next >
Text File  |  1995-04-22  |  8KB  |  232 lines
  1. à 3.5èTheorems Involvïg ê Angles ç a Triangle
  2. äèPlease answer ê followïg questions about ê angles 
  3. ç triangles.
  4. â 
  5.  
  6.  
  7. èèèèThe sum ç ê ïterior angles ç a triangle is 180°.
  8. éS1èèèèèèèèèèèèIn Section 3.2 we defïed remote å 
  9. èèèèèèèèèèèèèèèèexterior angles ç a triangle, å ïèèèèèèè
  10. èèèèèèèèèèèèèèèèSection 3.4 we looked at alternate ï-
  11. èèèèèèèèèèèèèèèèterior angles for parallel lïes. In 
  12. èèèèèèèèèèèèèèèèthis section we will combïe this ï-
  13. èèèèèèèèèèèèèèèèformation å gaï some additional facts
  14. @fig3501.BMP,40,40,147,74èèè about ê angles ç a triangle.
  15.  
  16. Theorem 3.5.1èThe sum ç ê measures ç ê ïterior angles ç a tri-
  17. angle is 180°.
  18. Proç: Statementèèèèèèèèè Reason
  19. èèè 1. Construct ╣╛ ▀ ░╕èèèè1. Problem 5, Section 3.4
  20. èèèèèèthrough Bè 
  21. èèè 2. m╬EBC + m╬3 = 180°èèè 2. (15)Lïear pairs are supplementary
  22. èèè 3. m╬EBC = m╬1 + m╬2èèèè3. (12)Angle addition axiom
  23. èèè 4. m╬1 + m╬2 + m╬3 = 180°è 4. Substitution
  24. èèè 5. ╬1 ╧ A, ╬3 ╧ ╬Cèèèèè5. Alternate ïterior angles are 
  25. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèècongruent
  26. èèè 6. m╬1 = m╬A, m╬3 = m╬Cèè 6. Defïition ç congruence
  27. èèè 7. m╬A + m╬2 + m╬C = 180°è 7. Substitution
  28.  
  29. Theorem 3.5.2èThe measure ç an exterior angle ç a triangle is equal
  30. ë ê sum ç ê measures ç ê correspondïg remote ïterior angles.
  31. Proç: Please see Problem 1 for ê proç.
  32.  
  33. Theorem 3.5.3èThe sum ç ê measures ç ê exterior angles ç a
  34. triangle is 720°.
  35. Proç: Please see Problem 2 for ê proç.
  36.  
  37. Theorem 3.5.4èIf two angles ç one triangle are congruent ë two angles
  38. ç anoêr triangle, ên ê remaïïg correspondïg angles are con-
  39. gruent.
  40. Proç: Please see problem 3 for proç.
  41.  
  42. Theorem 3.5.5èIf two angles å ê side opposite one ç ê angles ï
  43. one triangle are congruent ë ê correspondïg parts ç anoêr tri-
  44. angle, ên ê triangles are congruent.
  45. Proç: Please see Problem 4 for ê proç.
  46.  
  47. Theorem 3.5.6èCongruence ç triangles is reflexive, symmetric, å
  48. transitive.
  49. Proç: This follows from ê reflexive, symmetric, å transitive
  50. properties ç angle å segment congruence.
  51.  1èèèèèèèè Can it be shown that m╬BCE = m╬A + m╬B?è
  52.  
  53.  
  54.  
  55.  
  56.  
  57. @fig3201.BMP,35,40,147,74èèèèè A) YesèèèB) No
  58. ü Show m╬BCE = m╬A + m╬B
  59. Proç: Statementèèèèèèèèèè Reason
  60. èèè 1. m╬A + m╬B + m╬ACB = 180°è 1. Sum ç ïterior ╬s is 180°
  61. èèè 2. m╬ACB + m╬BCE = 180°èèè 2. Lïear pairs are supplementary
  62. èèè 3. m╬A + m╬B + m╬ACB =èèèè3. Transitive axiom
  63. èèèèèèèèèè m╬ACB + m╬BCE
  64. èèè 4. m╬A + m╬B = m╬BCEèèèèè4. Subtraction axiom for equations
  65. Ç A
  66.  2èèèèèèèèèè Can it be shown that ê sum ç all ç êèè
  67. èèèèèèèèèèèèèèèexterior angles ç this triangle is 360°?
  68.  
  69.  
  70.  
  71.  
  72. @fig3202.BMP,35,40,147,74èèèèè A) YesèèèB) No
  73. ü Show ê sum is not 360° 
  74. Proç: Statementèèèèèèè Reason
  75. èèè 1. m╬A + m╬B = m╬BCRèè1. Exterior ╬s equal sum ç two remote ╬s
  76. èèè 2. m╬A + m╬B = m╬ACSèè2. Exterior ╬s equal sum ç two remote ╬s 
  77. èèè 3. m╬B + m╬C = m╬BAHèè3. Exterior ╬s equal sum ç two remote ╬s
  78. èèè 4. m╬B + m╬C = m╬EACèè4. Exterior ╬s equal sum ç two remote ╬s
  79. èèè 5. m╬A + m╬C = m╬PBAèè5. Exterior ╬s equal sum ç two remote ╬s
  80. èèè 6. m╬A + m╬C = m╬QBCèè6. Exterior ╬s equal sum ç two remote ╬s
  81. èèè 7. 4(m╬A + m╬B + m╬C)è 7. Addition axiom for equations 
  82. èèèèè= sum ç exterior ╬s
  83. èèè 8. 4(180) = sum çèèè8. Sum ç ïterior ╬s is 180° 
  84. èèèèèexterior ╬s
  85. èèè 9. 720 = sum çèèèè 9. Multiplication is closed
  86. èèèèèexterior ╬s
  87. Ç B
  88.  3è Can it be shown that if ╬C ╧ ╬E å ╬B ╧ ╬H, ên ╬A ╧ ╬P?è 
  89. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  90.  
  91.  
  92.  
  93.  
  94. @fig3502.BMP,35,40,147,74èèèèè A) YesèèèB) No
  95. ü Show ╬A ╧ ╬P 
  96. Proç: StatementèèèèèèèèèèèReason
  97. èèè 1. ╬C ╧ ╬Eèèèèèèèèèè 1. Given
  98. èèè 2. ╬B ╧ ╬Hèèèèèèèèèè 2. Given 
  99. èèè 3. m╬C = m╬Eèèèèèèèèè 3. Defïition ç congruence
  100. èèè 4. m╬B = m╬Hèèèèèèèèè 4. Defïition ç congruence
  101. èèè 5. m╬A + m╬B + m╬C = 180°èèè5. Sum ç ïterior ╬s is 180°
  102. èèè 6. m╬P + m╬H + m╬E = 180°èèè6. Sum ç ïterior ╬s is 180°
  103. èèè 7. m╬A + m╬B + m╬C =èèèèè 7. Transitive axiom 
  104. èèèèèèm╬P + m╬H + m╬E
  105. èèè 8. m╬A = m╬Pèèèèèèèèè 8. Substitution å subtractionè
  106. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè axioms for equations
  107. èèè 9. ╬A ╧ ╬Pèèèèèèèèèè 9. Defïition ç congruenceè
  108. Ç A
  109.  4è Can it be shown that if ╬A ╧ ╬P, ╬C ╧ ╬E, å ▒┤ ╧ └╜,èè
  110. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèên ΦABC ╧ ΦPHE?
  111.  
  112.  
  113.  
  114.  
  115. @fig3502.BMP,35,40,147,74èèèèè A) YesèèèB) No
  116. ü Show ΦABC ╧ ΦPHE 
  117. Proç: StatementèèèèèèèèèèèReason
  118. èèè 1. ╬A ╧ ╬Pèèèèèèèèèè 1. Given
  119. èèè 2. ╬C ╧ ╬Eèèèèèèèèèè 2. Given 
  120. èèè 3. ▒┤ ╧ └╜èèèèèèèèèè 3. Given
  121. èèè 4. ╬B = ╬Hèèèèèèèèèè 4. Problem 3 above
  122. èèè 5. ΦABC ╧ ΦPHEèèèèèèèè 5. Congruent by ASA
  123. Ç Aèèè 
  124.  5è Can it be shown that ï a right triangle, ê two acuteèè 
  125. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèangles are complementary?
  126.  
  127.  
  128.  
  129.  
  130. @fig3102.BMP,35,40,147,74èèèèè A) YesèèèB) No
  131. ü Show ╬A å ╬B are complementary 
  132. Proç: StatementèèèèèèèèèèèReason
  133. èèè 1. m╬A + m╬B + m╬C = 180°èèè1. Sum ç ïterior ╬s is 180°
  134. èèè 2. m╬C = 90°èèèèèèèèè 2. Given 
  135. èèè 3. m╬A + m╬B + 90° = 180°èèè3. Substitution
  136. èèè 4. m╬A + m╬B = 90°èèèèèè 4. Subtraction axiom for equations
  137. èèè 5. ╬A å ╬B areèèèèèèè 5. Defïition ç complementary
  138. èèèèè complementaryèèèèèèèèè angles
  139. Ç Aèèè 
  140.  6è Can it be shown that ï an equiangular triangle, each angleèè 
  141. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèhas ê measure ç 60°?
  142.  
  143.  
  144.  
  145.  
  146. @fig3104.BMP,35,40,147,74èèèèè A) YesèèèB) No
  147. ü Show m╬A = m╬B = m╬C = 60°
  148. Proç: StatementèèèèèèèèèèReason
  149. èèè 1. ΦABC is equiangularèèè 1. Given
  150. èèè 2. m╬A = m╬B = m╬Cèèèèè 2. Defïition ç equiangularè
  151. èèè 3. m╬A + m╬B + m╬C = 180°èè3. Sum ç ïterior ╬s is 180°
  152. èèè 4. m╬A + m╬A + m╬A = 180°èè4. Substitution
  153. èèè 5. 3(m╬A) = 180°èèèèèè 5. Distributive axiom
  154. èèè 6. m╬A = 60°èèèèèèèè 6. Multiplication axiom ç equations
  155. èèè 7. m╬B = 60° å m╬C = 60°è 7. Substitutionèè 
  156. Ç Aèèè 
  157.  7èè Can it be shown that ê right triangles are congruentèèè 
  158. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèif ▒╖ ╧ └║, ┤╖ ╧ ╜║?
  159.  
  160.  
  161.  
  162.  
  163. @fig3503.BMP,35,40,147,74èèèèè A) YesèèèB) No
  164. ü Show ΦABC ╧ ΦPHE
  165. Proç: StatementèèèèèèèèèReason
  166. èèè 1. ▒╖ ╧ └║èèèèèèèè 1. Given
  167. èèè 2. ╖┤ ╧ ║╜èèèèèèèè 2. Givenè
  168. èèè 3. ╬C ╧ ╬Eèèèèèèèè 3. (14)All right angles are congruent
  169. èèè 4. ΦABC ╧ ΦPHEèèèèèè 4. Congruent by SASèèèèèèèèèè
  170. Ç Aèèè 
  171.  8èèè Can it be shown that ê right triangles are congruentèèè 
  172. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè if ▒┤ ╧ └╜ å ╬A ╧ ╬P?
  173.  
  174.  
  175.  
  176.  
  177. @fig3503.BMP,35,40,147,74èèèèè A) YesèèèB) No
  178. ü Show ΦABC ╧ ΦPHE
  179. Proç: StatementèèèèèèèèèReason
  180. èèè 1. ▒┤ ╧ └╜èèèèèèèè 1. Given
  181. èèè 2. ╬A ╧ ╬Pèèèèèèèè 2. Givenè
  182. èèè 3. ╬C ╧ ╬Eèèèèèèèè 3. (14)All right angles are congruent
  183. èèè 4. ΦABC ╧ ΦPHEèèèèèè 4. Congruent by Theorem 3.5.5èèèèèèèèèè
  184. Ç Aèèè 
  185.  9èè Can it be shown that ê right triangles are congruentèèè 
  186. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè if ┤╖ ╧ ╜║ å ╬A ╧ ╬P?
  187.  
  188.  
  189.  
  190.  
  191. @fig3503.BMP,35,40,147,74èèèèè A) YesèèèB) No
  192. ü Show ΦABC ╧ ΦPHE
  193. Proç: StatementèèèèèèèèèReason
  194. èèè 1. ┤╖ ╧ ╜║èèèèèèèè 1. Given
  195. èèè 2. ╬A ╧ ╬Pèèèèèèèè 2. Givenè
  196. èèè 3. ╬C ╧ ╬Eèèèèèèèè 3. (14)All right angles are congruent
  197. èèè 4. ╬B ╧ ╬Hèèèèèèèè 4. Problem 3 above
  198. èèè 5. ΦABC ╧ ΦPHEèèèèèè 4. Congruent by ASAèèèèèèèèèè
  199. Ç Aèèè 
  200.  10èèè Can it be shown that ΦABC ╧ ΦEHC if segments ▒║ å ┤╜èèèè
  201. èèèèèèèèèèèèèèè are perpendicular å bisect each oêr?
  202.  
  203.  
  204.  
  205.  
  206. @fig3504.BMP,35,40,147,74èèèèè A) YesèèèB) No
  207. ü Show ΦABC ╧ ΦEHC
  208. Proç: Statementèèèèèèèèèèè Reason
  209. èèè 1. ▒║ ß ┤╜èèèèèèèèèèè1. Given
  210. èèè 2. ╬ACB, ╬ECH are right ╬sèèè2. Defïition ç perpendicularè
  211. èèè 3. ╬ACE ╧ ╬ECHèèèèèèèèè3. (14)All right angles are 
  212. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèècongruent
  213. èèè 4. ▒╖ bisects ┤╜ åèèèèèè4. Given
  214. èèèèèè┤╜ bisects ▒║
  215. èèè 5. AC = CE, BC = CHèèèèèè 5. Defïition ç bisect
  216. èèè 6. ▒╖ ╧ ╖║, ┤╖ ╧ ╖╜èèèèèè 6. Defïition ç congruence
  217. èèè 7. ΦABC ╧ ΦEHCèèèèèèèèè7. Congruent by SASèèèèèè
  218. Ç Aèèè 
  219. èèè
  220. èèèè 
  221. èèèèèèèèè 
  222. èèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  223. èèèèèèèèèèèè
  224.  
  225.  
  226.  
  227.  
  228.  
  229.  
  230.  
  231.  
  232.