home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Geometry / geometry-3.5.iso / GEOMETRY / CHAPTER3.4Y < prev    next >
Text File  |  1995-04-24  |  6KB  |  160 lines
  1. à 3.4èParallel Lïes, Transversals, å Related Angles
  2. äèPlease answer ê followïg questions about parallel lïes
  3. å related angles.
  4. â
  5.  
  6. èèèèèèTwo lïes crossed by a transversal are parallel 
  7. èèèèèèif å only if correspondïg angles are congruent.
  8. éS1 We will need some results on parallel lïes ï order ë prove
  9. some êorems on ê angles ç triangles ï ê next section.
  10.  
  11. Defïition 3.4.1èPARALLEL LINES:èTwo lïes are parallel if êy are
  12. coplanar å êy do not ïtersect.
  13.  
  14. Defïition 3.4.2èSKEW LINES:èTwo lïes are skew lïes if êy are not
  15. coplanar.
  16.  
  17. Defïition 3.4.3èTRANSVERSAL:èA transversal is a lïe that ïtersects
  18. two oêr coplanar lïes.
  19.  
  20. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèIn this figure lïes ░╡ å ╢╗ 
  21. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèare parallel lïes.èLïe ╝┴ is 
  22. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèa transversal.èAngles 3, 5, 4,
  23. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèå 6 are ïterior angles.èThe
  24. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèpairs ç angles "3 å 6" å 
  25. @fig3401.BMP,40,235,147,74èèèèèèè"5 å 4" are alternate ïterior
  26. angles.èAngles 1, 2, 7, å 8 are exterior angles.èFïally, ê pairs
  27. ç angles "1 å 5," "3 å 7," "2 å 6," å "4 å 8" are correspon-
  28. dïg angles.
  29.  
  30. Axiom 19:èTwo coplanar lïes crossed by a transversal are parallel if 
  31. å only if ê resultïg correspondïg angles are congruent.
  32.  
  33. Theorem 3.4.1èTwo coplanar lïes crossed by a transversal are parallel
  34. if å only if alternate ïterior angles are equal.
  35. Proç: For proç please see Problems 1 å 2.
  36.  
  37. Theorem 3.4.2èTwo coplanar lïes crossed by a transversal are parallel
  38. if å only if ê ïterior angles on ê same side ç ê transversalèè
  39. are supplementary.
  40. Proç: For proç please see Problems 3 å 4.
  41.  
  42. è Notice that Axiom 19, Theorem 3.4.1, å Theorem 3.4.2 have ê ex-
  43. pression "if å only if."èThis is really two "if /ên" statements ï
  44. one.èIt is ê origïal conditional å its converse.èThus, êre are 
  45. two statements ë prove ï each ç êse êorems.
  46. è The followïg statements are additional facts about parallel lïes.è
  47. If you are given a poït not on a lïe, ên you can construct a lïe 
  48. through ê poït parallel ë ê given lïe.èAlso, if you are given a 
  49. poït on a lïe, you can construct a new lïe through ê poït å per-
  50. pendicular ë ê origïal lïe.èFïally, you can construct a lïe 
  51. through a given poït that is perpendicular ë a given lïe.èYou are
  52. encouraged ë go ë ê "construction feature" ï this program å prac-
  53. tice constructions 5, 6, å 7.
  54.  1èèèèèèèèCan it be shown that two parallel lïes crossed 
  55. èèèèèèèèèèèè by a transversal must have alternate ïterior 
  56. èèèèèèèèèèèè angles that are equal?
  57. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  58.  
  59. èèèèèèèèèèèèèèèèèèA)èYesèèèèèèèB) No
  60. @fig3401.BMP,35,40,147,74
  61. üèèèèèIf ░╡ ▀ ╢╗, ên ╬3 ╧ ╬6
  62. èèèèProç:èStatementèèèèèèReason
  63. èèèèèèèè1. ░╡ ▀ ╢╗èèèèè 1. Givenè 
  64. èèèèèèèè2. ╬6 ╧ ╬2èèèèè 2. (19)▀ lïes have congruent 
  65. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèècorrespondïg angles
  66. èèèèèèèè3. ╬2 ╧ ╬3èèèèè 3. Vertical angles are congruent
  67. èèèèèèèè4. ╬3 ╧ ╬6èèèèè 4. Congruence is transitive
  68. Ç A
  69.  2èèèèèèèèCan it be shown that two lïes crossed by a
  70. èèèèèèèèèèèè transversal with alternate ïterior angles 
  71. èèèèèèèèèèèè equal must be parallel?
  72. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  73.  
  74. èèèèèèèèèèèèèèèèèè A) YesèèèèèB) No
  75. @fig3401.BMP,35,40,147,74
  76. üèèèèèIf ╬3 ╧ ╬6, ên ░╡ ▀ ╢╗
  77. èèèèProç:èStatementèèèèèèReason
  78. èèèèèèèè1. ╬3 ╧ ╬6èèèèè 1. Givenè 
  79. èèèèèèèè2. ╬3 ╧ ╬2èèèèè 2. Vertical angles are congruent 
  80. èèèèèèèè3. ╬6 ╧ ╬2èèèèè 3. Congruence is transitive
  81. èèèèèèèè4. ░╡ ▀ ╢╗èèèèè 4. (19)▀ lïes have congruent 
  82. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèècorrespondïg angles 
  83. Ç A
  84.  3èèèèèèèè Can it be shown that two parallel lïes 
  85. èèèèèèèèèèèèècrossed by a transversal must have ïterior
  86. èèèèèèèèèèèèèangles on ê same side ç ê transversal 
  87. èèèèèèèèèèèèèthat are supplementary?èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  88. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  89. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  90. @fig3401.BMP,35,40,147,74èèèèèè A) Yesèèèè B) No
  91. üèèèèèIf ░╡ ▀ ╢╗, ên ╬4 å ╬6 are supplementary
  92. èèèèProç:èStatementèèèèèèè Reason
  93. èèèèèèèè1. ░╡ ▀ ╢╗èèèèèèè1. Givenè 
  94. èèèèèèèè2. ╬6 ╧ ╬2èèèèèèè2. (19)▀ lïes have congruent 
  95. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè correspondïg angles
  96. èèèèèèèè3. m╬6 = m╬2èèèèèè3. Defïition ç congruence 
  97. èèèèèèèè4. ╬4 å ╬2 areèèèè4. (15)Lïear pairs are 
  98. èèèèèèèèèè supplementaryèèèèè supplementary
  99. èèèèèèèè5. m╬4 + m╬2 = 180°èè 5. Defïition ç supplements
  100. èèèèèèèè6. m╬4 + m╬6 = 180°èè 6. Substitution from lïe 3
  101. èèèèèèèè7. ╬4 å ╬6 areèèèè7. Defïition ç supplements
  102. èèèèèèèèèè supplementary
  103. Ç A
  104.  4èèèèèèèèèCan it be shown that two lïes crossed 
  105. èèèèèèèèèèèèè by a transversal, with ïterior angles onèè 
  106. èèèèèèèèèèèèè ê same side ç ê transversal supplemen-èèèèèèèèèèèèèèèèè
  107. èèèèèèèèèèèèè tary, must be parallel?èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  108. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  109. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  110. @fig3401.BMP,35,40,147,74èèèèèèèA) YesèèèèèèB) No
  111. üèèè If ╬4 å ╬6 are supplementary, ên ░╡ ▀ ╢╗
  112. èè Proç:èStatementèèèèèèèèè Reason
  113. èèèèèè 1. ╬4 å ╬6 areèèèèèè1. Given 
  114. èèèèèèèèèsupplementaryè
  115. èèèèèè 2. m╬4 + m╬6 = 180°èèèè 2. Defïition ç supplementary 
  116. èèèèèè 3. ╬4 å ╬2 areèèèèèè3. (15)Lïear pairs are 
  117. èèèèèèèèèsupplementaryèèèèèèè supplementary
  118. èèèèèè 4. m╬4 + m╬2 = 180°èèèè 4. Defïition ç supplementary 
  119. èèèèèè 5. m╬4 + m╬6 = m╬4 + m╬2èè5. Transitive axiom from lïes
  120. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè2 å 4
  121. èèèèèè 6. m╬6 = m╬2èèèèèèèè6. Subtraction axiom for
  122. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèequality
  123. èèèèèè 7. ╬6 ╧ ╬2èèèèèèèèè7. Defïition ç congruence
  124. èèèèèè 8. ░╡ ▀ ╢╗èèèèèèèèè8. (19)Correspondïg congruent
  125. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèangles implies ▀ lïes
  126. Ç A
  127.  5èèèèèèèèèCan it be shown that a lïe can be drawnè
  128. èèèèèèèèèèèèè through a poït not on a given lïe that is
  129. èèèèèèèèèèèèè parallel ë ê given lïe?èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  130. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  131.  
  132. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèA) YesèèèèèèB) Noèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  133. @fig3401.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  134. üèè If P is a poït not on lïe ╢╗, ên ░╡ can be drawn 
  135. èèèèè through P å ▀ ë ╢╗
  136. è Proç:èStatementèèèèèèèèè Reason
  137. èèèèè 1. Choose poït Pèèèèèè 1. (4)Two poïts determïe 
  138. èèèèèèèèon ╢╗ å draw ╝┴èèèèèè a lïe
  139. èèèèè 2. Construct ╬ABH suchèèèè2. (11)Angle construction 
  140. èèèèèèèèthat m╬ABH = m╬PHEèèèèèèaxiom 
  141. èèèèè 3. ╬ABH ╧ ╬PHEèèèèèèèè3. Defïition ç congruence 
  142. èèèèè 4. ░╡ ▀ ╢╗èèèèèèèèèè4. Alternate ïterior congruent 
  143. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèangles implies ▀ lïesèèèèè
  144. Ç Aèèèèè 
  145. èèèèè
  146. èèèè 
  147. èèèèèèèèèèèèèèèè
  148.  
  149.  
  150.  
  151.  
  152.  
  153.  
  154.  
  155.  
  156.  
  157.  
  158.  
  159.  
  160.