home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Geometry / geometry-3.5.iso / GEOMETRY / CHAPTER3.6Y < prev    next >
Text File  |  1995-04-22  |  7KB  |  207 lines
  1. à 3.6èMedian, Altitudues, å Isosceles Triangles
  2. äèPlease answer ê followïg questions about medians,
  3. altitudes, å isosceles triangles.
  4. â 
  5.  
  6. èèèèèèèTwo sides ç a triangle are equal if å onlyè
  7. èèèèèèèif ê angles opposite êse sides are equal.
  8. éS In this section we will restate ê defïition ç isosceles tri-
  9. angles å develop some facts about ê angles ç êse triangles.èIn 
  10. addition we will look at ê defïitions ç median, altitude, å angle
  11. bisecër ç a triangle.
  12.  
  13. Defïition 3.1.7èISOSCELES TRIANGLE:èAn isosceles triangle is a tri-
  14. angle with two equal sides.èThe third side is called ê base.
  15.  
  16. Defïition 3.6.1èMEDIAN:èA median ç a triangle is ê lïe segment 
  17. joïïg a vertex ë ê midpoït ç ê opposite side.
  18.  
  19. Defïition 3.6.2èALTITUDE:èAn altitude ç a triangle is a lïe segment
  20. from a vertex perpendicular ë ê opposite side.
  21.  
  22. Defïition 3.6.3èANGLE BISECTOR OF A TRIANGLE:èAn angle bisecër ç a
  23. triangle is a lïe segment that extends from a vertex ë ê side oppo-
  24. site ï such a way that it bisects ê angle at ê vertex.
  25.  
  26. Theorem 3.6.1èTwo sides ç a triangle are congruent if å only if ê 
  27. angles opposite êse sides are congruent.
  28. Proç:èFor a prove please see Problems 1 å 2.
  29.  
  30. Theorem 3.6.2èA triangle is equilateral if å only if it is 
  31. equiangular.
  32. Proç:èFor a proç please see Problems 3 å 4.
  33.  
  34. Theorem 3.6.3èIf an hypotenuse å leg ç one right triangle are con-
  35. gruent ë ê correspondïg parts ç anoêr right triangle, ên ê
  36. triangles are congruent.
  37.  1èèèèèèèèèèIf ▒┤ ╧ ┤╖, can you show that ╬A ╧ ╬C?
  38. èèèèèèèèèèèèè(Show angles opposite equal sides are equal.)è
  39.  
  40.  
  41.  
  42.  
  43. @fig3601.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèA) Yesèèè B) No
  44. ü Show ╬A ╧ ╬C
  45. Proç: Statementèèèèèèèèèèèèè Reason
  46. èèè 1. ▒┤ ╧ ┤╖èèèèèèèèèèèèè1. Given 
  47. èèè 2. Constuct angle bisecër ┤╗èèè 2. An angle can be bisected
  48. èèè 3. ╬ABE ╧ ╬CBEèèèèèèèèèèè3. Defïition ç bisecër
  49. èèè 4. ┤║ ╧ ┤║èèèèèèèèèèèèè4. Congruence is reflexive
  50. èèè 5. ΦABE ╧ ΦCBEèèèèèèèèèèè5. Congruent by SAS
  51. èèè 6. ╬A ╧ ╬Cèèèèèèèèèèèèè6. Correspondïg parts ç 
  52. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèècongruent Φs
  53. Ç A
  54.  2èèèèèèèèèè If ╬A ╧ ╬C, can you show that ▒┤ ╧ ┤╖?
  55. èèèèèèèèèèèèè (Show sides opposite equal angles are equal.)è
  56.  
  57.  
  58.  
  59.  
  60. @fig3601.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèA) Yesèèè B) No
  61. ü Show ▒┤ ╧ ┤╖
  62. Proç: StatementèèèèèèèèèèèèReason
  63. èèè 1. ╬A ╧ ╬Cèèèèèèèèèèè 1. Given 
  64. èèè 2. Constuct angle bisecër ┤╗èè2. The angle can be bisected
  65. èèè 3. ╬ABE ╧ ╬CBEèèèèèèèèè 3. Defïition ç angle bisecër
  66. èèè 4. ┤║ ╧ ┤║èèèèèèèèèèè 4. Congruence is reflexive
  67. èèè 5. ΦABE ╧ ΦCBEèèèèèèèèè 5. Congruent by Theorem 3.5.5
  68. èèè 6. ▒┤ ╧ ┤╖èèèèèèèèèèè 6. Correspondïg parts ç 
  69. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè congruent Φs are congruent
  70. Ç A
  71.  3èèèèèèèIf ▒┤ ╧ ┤╖ ╧ ▒╖, can you show that ╬A ╧ ╬B ╧ ╬C?
  72. èèèèèèèèèèèè (Show equilateral triangles are equiangular.)è
  73.  
  74.  
  75.  
  76.  
  77. @fig3602.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèA) Yesèèè B) No
  78. ü Show ╬A ╧ ╬B ╧ ╬C
  79. Proç: StatementèèèèèèèèèèèèReason
  80. èèè 1. ▒┤ ╧ ┤╖ ╧ ▒╖èèèèèèèèè1. Given 
  81. èèè 2. ╬A ╧ ╬Cèèèèèèèèèèè 2. Theorem 3.6.2 or Problem 1
  82. èèè 3. ╬A ╧ ╬Bèèèèèèèèèèè 3. Theorem 3.6.2 or Problem 1
  83. èèè 4. ╬A ╧ ╬B ╧ ╬Cèèèèèèèèè4. Congruence is transitive 
  84. Ç A
  85.  4èèèèèèèIf ╬A ╧ ╬B ╧ ╬C, can you show that ▒┤ ╧ ┤╖ ╧ ▒╖?
  86. èèèèèèèèèèèè (Show equiangular triangles are equilateral.)è
  87.  
  88.  
  89.  
  90.  
  91. @fig3602.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèA) Yesèèè B) No
  92. ü Show ▒┤ ╧ ┤╖ ╧ ▒╖
  93. Proç: StatementèèèèèèèèèèèèReason
  94. èèè 1. ╬A ╧ ╬B ╧ ╬Cèèèèèèèèè1. Given 
  95. èèè 2. ▒┤ ╧ ▒╖èèèèèèèèèèè 2. Theorem 3.6.2 or Problem 2
  96. èèè 3. ┤╖ ╧ ▒╖èèèèèèèèèèè 3. Theorem 3.6.2 or Problem 2
  97. èèè 4. ▒┤ ╧ ┤╖ ╧ ▒╖èèèèèèèèè4. Congruence is transitive 
  98. Ç A
  99.  5èèèIf ΦABC is isosceles å ┤║ is a median, can you show that 
  100. èèèèèèèèè ╬ABE ╧ ╬CBE?è(Show ê median is ê angle bisecër.)è
  101.  
  102.  
  103.  
  104.  
  105. @fig3601.BMP,35,50,147,74èèèèèèèèA) Yesèèè B) No
  106. ü Show ╬ABE ╧ ╬CBE
  107. Proç: StatementèèèèèèèèèèèèReason
  108. èèè 1. ΦABC is isoscelesèèèèèè 1. Given 
  109. èèè 2. ▒┤ ╧ ┤╖èèèèèèèèèèè 2. Defïition ç isosceles
  110. èèè 3. ┤║ is a medianèèèèèèèè3. Given
  111. èèè 4. ▒║ ╧ ║╖èèèèèèèèèèè 4. Defïition ç median
  112. èèè 5. ┤║ ╧ ┤║èèèèèèèèèèè 5. Congruence is reflexive
  113. èèè 6. ΦABE ╧ ΦCBEèèèèèèèèè 6. Congruent by SSS
  114. èèè 7. ╬ABE ╧ ╬CBEèèèèèèèèè 7. Correspondïg parts ç 
  115. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè congruent Φs
  116. Ç A
  117.  6èèèèèèèèèè If ┤║ is an altitude å a median, can you 
  118. èèèèèèèèèèèèèèèshow that ΦABC is isosceles? 
  119.  
  120.  
  121.  
  122.  
  123. @fig3601.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèA) Yesèèè B) No
  124. ü Show ΦABC is isosceles
  125. Proç: StatementèèèèèèèèèèèèReason
  126. èèè 1. ┤║ is an altitudeèèèèèè 1. Given 
  127. èèèèèèå a median
  128. èèè 2. ┤║ ß ▒╖èèèèèèèèèèè 2. Defïition ç altitude
  129. èèè 3. ╬AEB, ╬CEB are right ╬sèèè 3. Defïition ç perpendicular
  130. èèè 4. ╬AEB ╧ ╬CEBèèèèèèèèè 4. (14)Angles are congruent
  131. èèè 5. ▒║ ╧ ║╖èèèèèèèèèèè 5. Defïition ç median
  132. èèè 6. ┤║ ╧ ┤║èèèèèèèèèèè 6. Congruence is reflexive
  133. èèè 7. ΦABE ╧ ΦCBEèèèèèèèèè 7. Congruent by SAS
  134. èèè 8. ▒┤ ╧ ┤╖èèèèèèèèèèè 8. Correspondïg parts ç 
  135. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè congruent Φs
  136. èèè 9. ΦABC is isoscelesèèèèèè 9. Defïition ç isosceles
  137. Ç A
  138.  7èèèèè If ΦABC is isosceles å ┤║ is ê altitude ë êè 
  139. èèèèèèèèèèvertex angle, can you show ┤║ is ê angle bisecër? 
  140.  
  141.  
  142.  
  143.  
  144. @fig3601.BMP,35,50,147,74èèèèèèèèA) Yesèèè B) No
  145. ü Show ┤║ is ê angle bisecër ç ╬B
  146. Proç: Statementèèèèèèèèèèè Reason
  147. èèè 1. ΦABC is isoscelesèèèèèè1. Given 
  148. èèè 2. ▒┤ ╧ ┤╖èèèèèèèèèèè2. Defïition ç isosceles
  149. èèè 3. ┤║ is ê altitudeèèèèè 3. Given 
  150. èèè 4. ╬AEB, ╬CEB are right ╬sèèè4. Defïition ç altitude
  151. èèè 5. ╬AEB ╧ ╬CEBèèèèèèèèè5. (14)Right angles are congruent
  152. èèè 6. ╬A ╧ ╬Cèèèèèèèèèèè6. Theorem 3.6.1
  153. èèè 7. ΦABE ╧ ΦCBEèèèèèèèèè7. Theorem 3.5.5
  154. èèè 8. ╬ABE ╧ ╬CBEèèèèèèèèè8. Correspondïg parts ç 
  155. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèècongruent Φs
  156. èèè 9. m╬ABE = m╬CBEèèèèèèèè9. Defïition ç congruence
  157. èèè10. ┤║ bisects ╬Bèèèèèèè 10. Defïition ç angle bisecër
  158. Ç A
  159.  8èèèè If ▒┤ ╧ ▒║ å ┤╖ ╧ ║╖, can you show ╬ABC ╧ ╬AEC?è 
  160. èèèèèèè 
  161.  
  162.  
  163.  
  164.  
  165. @fig3603.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèA) Yesèèè B) No
  166. ü Show ╬ABC ╧ ╬AEC
  167. Proç: StatementèèèèèèèèReason
  168. èèè 1. ▒┤ ╧ ▒║èèèèèèè 1. Given 
  169. èèè 2. ╬1 ╧ ╬3èèèèèèè 2. ╬s opposite equal sides are congruent
  170. èèè 3. ┤╖ ╧ ║╖èèèèèèè 3. Given 
  171. èèè 4. ╬2 ╧ ╬4èèèèèèè 4. ╬s opposite equal sides are congruent
  172. èèè 5. m╬1 = m╬3èèèèèè 5. Defïition ç congruence
  173. èèè 6. m╬2 = m╬4èèèèèè 6. Defïition ç congruence
  174. èèè 7. m╬1 + m╬2èèèèèè 7. Addition axiom for equations
  175. èèèèè= m╬3 + m╬4èèèè 
  176. èèè 8. m╬ABE = m╬AECèèèè 8. (12)Angle addition axiom
  177. èèè 9. ╬ABC ╧ ╬AECèèèèè 9. Defïition ç congruenceèèèèèèèèè
  178. Ç A
  179.  9èèè If ┤╖ ╧ ║╖ å ╬BPC ╧ ╬EPC, can you show ╬ABC ╧ ╬AEC?è 
  180. èèèèèèè 
  181.  
  182.  
  183.  
  184.  
  185. @fig3603.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèA) Yesèèè B) No
  186. ü Show ╬ABC ╧ ╬AEC
  187. Proç: StatementèèèèèèèèReason
  188. èèè 1.┤╖ ╧ ║╖èèèèèèè 1. Given 
  189. èèè 2. ╬BPC ╧ ╬EPCèèèèè2. Given
  190. èèè 3. ╬2 ╧ ╬4èèèèèèè3. ╬s opposite equal sides are congruent 
  191. èèè 4. ΦBCP ╧ ΦECPèèèèè4. Theorem 3.5.5
  192. èèè 5. ┤└ ╧ ║└èèèèèèè5. Correspondïg parts ç congruent Φs
  193. èèè 6. ▒└ ╧ ▒└èèèèèèè6. Congruence is reflexive
  194. èèè 7. ╬APB, ╬APE rt. ╬sèè7. They form pairs with right anglesèèèèèèèèè
  195. èèè 8. ╬APB ╧ ╬APEèèèèè8. Right angles are congruent
  196. èèè 9. ΦABP ╧ ΦAEPèèèèè9. Congruent by SAS
  197. èèè10. ╬1 ╧ ╬3èèèèèè 10. Correspondïg parts ç congruent Φs
  198. èèè11. ╬1 + ╬2 = ╬3 + ╬4è 11. Addition axiom for equationsèèèèè
  199. èèè12. ╬ABC ╧ ╬AECèèèè 12. Def. ç congr. å Seg.add. axiomèèèèèèèèè
  200. Ç A
  201.  
  202.  
  203.  
  204.  
  205.  
  206.  
  207.