home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ ftp.pasteur.org/FAQ/ / ftp-pasteur-org-FAQ.zip / FAQ / sci-math-faq / specialnumbers / 0to0 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1995-11-18  |  7.3 KB  |  184 lines
  1. Newsgroups: sci.math,sci.answers,news.answers
  2. Path: senator-bedfellow.mit.edu!bloom-beacon.mit.edu!spool.mu.edu!torn!watserv3.uwaterloo.ca!undergrad.math.uwaterloo.ca!neumann.uwaterloo.ca!alopez-o
  3. From: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca (Alex Lopez-Ortiz)
  4. Subject: sci.math FAQ: What is 0^0?
  5. Summary: Part 15 of many, New version,
  6. Originator: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  7. Message-ID: <DI76Ky.54t@undergrad.math.uwaterloo.ca>
  8. Sender: news@undergrad.math.uwaterloo.ca (news spool owner)
  9. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  10. Date: Fri, 17 Nov 1995 17:14:58 GMT
  11. Expires: Fri, 8 Dec 1995 09:55:55 GMT
  12. Reply-To: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  13. Nntp-Posting-Host: neumann.uwaterloo.ca
  14. Organization: University of Waterloo
  15. Followup-To: sci.math
  16. Lines: 165
  17. Xref: senator-bedfellow.mit.edu sci.math:124389 sci.answers:3423 news.answers:57824
  18.  
  19.  
  20. Archive-Name: sci-math-faq/specialnumbers/0to0
  21. Last-modified: April 26, 1995  
  22. Version: 6.2
  23.  
  24. What is 0^0 
  25.  
  26.    
  27.    According to some Calculus textbooks, 0^0 is an ``indeterminate
  28.    form''. When evaluating a limit of the form 0^0 , then you need to
  29.    know that limits of that form are called ``indeterminate forms'', and
  30.    that you need to use a special technique such as L'Hopital's rule to
  31.    evaluate them. Otherwise, 0^0 = 1 seems to be the most useful choice
  32.    for 0^0 . This convention allows us to extend definitions in different
  33.    areas of mathematics that otherwise would require treating 0 as a
  34.    special case. Notice that 0^0 is a discontinuity of the function x^y .
  35.    
  36.    
  37.    This means that depending on the context where 0^0 occurs, you might
  38.    wish to substitute it with 1, indeterminate or undefined/nonexistent.
  39.    
  40.    Some people feel that giving a value to a function with an essential
  41.    discontinuity at a point, such as x^y at (0,0) , is an inelegant patch
  42.    and should not be done. Others point out correctly that in
  43.    mathematics, usefulness and consistency are very important, and that
  44.    under these parameters 0^0 = 1 is the natural choice.
  45.    
  46.    The following is a list of reasons why 0^0 should be 1.
  47.    
  48.    Rotando &Korn show that if f and g are real functions that vanish at
  49.    the origin and are analytic at 0 (infinitely differentiable is not
  50.    sufficient), then f(x)^g(x) approaches 1 as x approaches 0 from the
  51.    right.
  52.    
  53.    From Concrete Mathematics p.162 (R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik):
  54.    
  55.      Some textbooks leave the quantity 0^0 undefined, because the
  56.      functions x^0 and 0^x have different limiting values when x
  57.      decreases to 0. But this is a mistake. We must define x^0=1 for all
  58.      x , if the binomial theorem is to be valid when x = 0 , y = 0 ,
  59.      and/or x = -y . The theorem is too important to be arbitrarily
  60.      restricted! By contrast, the function 0^x is quite unimportant.
  61.      
  62.    Published by Addison-Wesley, 2nd printing Dec, 1988.
  63.    
  64.    As a rule of thumb, one can say that 0^0 = 1 , but 0.0^(0.0) is
  65.    undefined, meaning that when approaching from a different direction
  66.    there is no clearly predetermined value to assign to 0.0^(0.0) ; but
  67.    Kahan has argued that 0.0^(0.0) should be 1, because if f(x), g(x) -->
  68.    0 as x approaches some limit, and f(x) and g(x) are analytic
  69.    functions, then f(x)^g(x) --> 1 .
  70.    
  71.    The discussion on 0^0 is very old, Euler argues for 0^0 = 1 since a^0
  72.    = 1 for a != 0 . The controversy raged throughout the nineteenth
  73.    century, but was mainly conducted in the pages of the lesser journals:
  74.    Grunert's Archiv and Schlomilch's Zeitshrift. Consensus has recently
  75.    been built around setting the value of 0^0 = 1 .
  76.    
  77.    On a discussion of the use of the function 0^(0^x) by an Italian
  78.    mathematician named Guglielmo Libri.
  79.    
  80.      [T]he paper [33] did produce several ripples in mathematical waters
  81.      when it originally appeared, because it stirred up a controversy
  82.      about whether 0^0 is defined. Most mathematicians agreed that 0^0 =
  83.      1 , but Cauchy [5, page 70] had listed 0^0 together with other
  84.      expressions like 0/0 and oo - oo in a table of undefined forms.
  85.      Libri's justification for the equation 0^0 = 1 was far from
  86.      convincing, and a commentator who signed his name simply ``S'' rose
  87.      to the attack [45]. August Mvbius [36] defended Libri, by presenting
  88.      his former professor's reason for believing that 0^0 = 1 (basically
  89.      a proof that lim_(x --> 0+) x^x = 1 ). Mvbius also went further and
  90.      presented a supposed proof that lim_(x --> 0+) f(x)^(g(x)) whenever
  91.      lim_(x --> 0+) f(x) = lim_(x --> 0+) g(x) = 0 . Of course ``S'' then
  92.      asked [3] whether Mvbius knew about functions such as f(x) =
  93.      e^(-1/x) and g(x) = x . (And paper [36] was quietly omitted from the
  94.      historical record when the collected words of Mvbius were ultimately
  95.      published.) The debate stopped there, apparently with the conclusion
  96.      that 0^0 should be undefined.
  97.      
  98.      But no, no, ten thousand times no! Anybody who wants the binomial
  99.      theorem (x + y)^n = sum_(k = 0)^n (n\choose k) x^k y^(n - k) to hold
  100.      for at least one nonnegative integer n must believe that 0^0 = 1 ,
  101.      for we can plug in x = 0 and y = 1 to get 1 on the left and 0^0 on
  102.      the right.
  103.      
  104.      The number of mappings from the empty set to the empty set is 0^0 .
  105.      It has to be 1.
  106.      
  107.      On the other hand, Cauchy had good reason to consider 0^0 as an
  108.      undefined limiting form, in the sense that the limiting value of
  109.      f(x)^(g(x)) is not known a priori when f(x) and g(x) approach 0
  110.      independently. In this much stronger sense, the value of 0^0 is less
  111.      defined than, say, the value of 0 + 0 . Both Cauchy and Libri were
  112.      right, but Libri and his defenders did not understand why truth was
  113.      on their side.
  114.      
  115.      [3] Anonymous and S ... Bemerkungen zu den Aufsatze |berschrieben,
  116.      `Beweis der Gleichung ... , nach J. F. Pfaff', im zweiten Hefte
  117.      dieses Bandes, S. 134, Journal f|r die reine und angewandte
  118.      Mathematik, 12 (1834), 292-294.
  119.      
  120.      
  121.      
  122.      [5] Oe uvres Complhtes. Augustin-Louis Cauchy. Cours d'Analyse de
  123.      l'Ecole Royale Polytechnique (1821). Series 2, volume 3.
  124.      
  125.      
  126.      
  127.      [33] Guillaume Libri. Mimoire sur les fonctions discontinues,
  128.      Journal f|r die reine und angewandte Mathematik, 10 (1833),
  129.      303-316.
  130.      
  131.      
  132.      
  133.      [36] A. F. Mvbius. Beweis der Gleichung 0^0 = 1 , nach J. F. Pfaff.
  134.      Journal f|r die reine und angewandte Mathematik,
  135.      
  136.      
  137.      
  138.      12 (1834), 134-136.
  139.      
  140.      [45] S ... Sur la valeur de 0^0 . Journal f|r die reine und
  141.      angewandte Mathematik 11, (1834), 272-273.
  142.      
  143.      
  144.      
  145.    
  146.    
  147.    
  148.    
  149.    References
  150.    
  151.    Knuth. Two notes on notation. (AMM 99 no. 5 (May 1992), 403-422).
  152.    
  153.    
  154.    
  155.    H. E. Vaughan. The expression ' 0^0 '. Mathematics Teacher 63 (1970),
  156.    pp.111-112.
  157.    
  158.    
  159.    
  160.    Louis M. Rotando and Henry Korn. The Indeterminate Form 0^0 .
  161.    Mathematics Magazine, Vol. 50, No. 1 (January 1977), pp. 41-42.
  162.    
  163.    
  164.    
  165.    L. J. Paige,. A note on indeterminate forms. American Mathematical
  166.    Monthly, 61 (1954), 189-190; reprinted in the Mathematical
  167.    Association of America's 1969 volume, Selected Papers on Calculus, pp.
  168.    210-211.
  169.    
  170.    
  171.    
  172.    Baxley &Hayashi. A note on indeterminate forms. American Mathematical
  173.    Monthly, 85 (1978), pp. 484-486.
  174.    
  175.    
  176.    
  177.    
  178.      _________________________________________________________________
  179.    
  180.    
  181.    
  182.     alopez-o@barrow.uwaterloo.ca
  183.     Tue Apr 04 17:26:57 EDT 1995
  184.