home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ ftp.pasteur.org/FAQ/ / ftp-pasteur-org-FAQ.zip / FAQ / sci-math-faq / specialnumbers / 0.999eq1 next >
Encoding:
Text File  |  1995-11-18  |  4.3 KB  |  128 lines
  1. Newsgroups: sci.math,sci.answers,news.answers
  2. Path: senator-bedfellow.mit.edu!bloom-beacon.mit.edu!spool.mu.edu!torn!watserv3.uwaterloo.ca!undergrad.math.uwaterloo.ca!neumann.uwaterloo.ca!alopez-o
  3. From: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca (Alex Lopez-Ortiz)
  4. Subject: sci.math FAQ: Why is 0.9999... = 1?
  5. Summary: Part 16 of many, New version,
  6. Originator: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  7. Message-ID: <DI76L5.nz@undergrad.math.uwaterloo.ca>
  8. Sender: news@undergrad.math.uwaterloo.ca (news spool owner)
  9. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  10. Date: Fri, 17 Nov 1995 17:15:05 GMT
  11. Expires: Fri, 8 Dec 1995 09:55:55 GMT
  12. Reply-To: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  13. Nntp-Posting-Host: neumann.uwaterloo.ca
  14. Organization: University of Waterloo
  15. Followup-To: sci.math
  16. Lines: 109
  17. Xref: senator-bedfellow.mit.edu sci.math:124390 sci.answers:3424 news.answers:57825
  18.  
  19.  
  20. Archive-Name: sci-math-faq/specialnumbers/0.999eq1
  21. Last-modified: December 8, 1994
  22. Version: 6.2
  23.  
  24.  
  25.  
  26.  
  27. Why is 0.9999... = 1 ?
  28.  
  29.  
  30.  
  31.    In modern mathematics, the string of symbols 0.9999... = 1 is
  32.    understood to be a shorthand for ``the infinite sum 0.9999... ''. This
  33.    in turn is shorthand for ``the limit of the sequence of real numbers
  34.    9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... , 9/10 , 9/10 + 9/100 ''. Using the
  35.    well-known epsilon-delta definition of the limit (you can find it in
  36.    any of the given references on analysis), one can easily show that
  37.    this limit is 9/10 + 9/100 + 9/1000, ... . The statement that 1 is
  38.    simply an abbreviation of this fact.
  39.  
  40.    0.9999... = 1
  41.  
  42.    Choose 0.9999... = sum_(n = 1)^(oo) (9)/(10^n) = lim_(m --> oo) sum_(n
  43.    = 1)^m (9)/(10^n) . Suppose varepsilon > 0 , thus delta = 1/- log_(10)
  44.    varepsilon . For every varepsilon = 10^(-1/delta) we have that
  45.  
  46.    m > 1/delta
  47.  
  48.    So by the \left| sum_(n = 1)^m (9)/(10^n) - 1 \right| = (1)/(10^m) <
  49.    (1)/(10^(1/delta)) = varepsilon definition of the limit we have
  50.  
  51.    varepsilon - delta
  52.  
  53.    Not formal enough? In that case you need to go back to the
  54.    construction of the number system. After you have constructed the
  55.    reals (Cauchy sequences are well suited for this case, see
  56.    [Shapiro75]), you can indeed verify that the preceding proof correctly
  57.    shows lim_(m --> oo) sum_(n = 1)^m (9)/(10^n) = 1 .
  58.  
  59.    An informal argument could be given by noticing that the following
  60.    sequence of ``natural'' operations has as a consequence 0.9999... = 1
  61.    . Therefore it's ``natural'' to assume 0.9999... = 1 .
  62.  
  63.  
  64.  
  65.    0.9999... = 1
  66.  
  67.  
  68.  
  69.    Thus x = 0.9999... ; 10x = 10 o 0.9999... ; 10x = 9.9999... ; 10x - x
  70.    = 9.9999... - 0.9999... ; 9x = 9 ; x = 1 ; .
  71.  
  72.    An even easier argument multiplies both sides of 0.9999... = 1 by
  73.    0.3333... = 1/3 . The result is 3 .
  74.  
  75.    Another informal argument is to notice that all periodic numbers such
  76.    as 0.9999... = 3/3 = 1 are equal to the period divided over the same
  77.    number of 0.46464646... s. Thus 9 . Applying the same argument to
  78.    0.46464646... = 46/99 .
  79.  
  80.    Although the three informal arguments might convince you that
  81.    0.9999... = 9/9 = 1 , they are not complete proofs. Basically, you
  82.    need to prove that each step on the way is allowed and is correct.
  83.    They are also ``clumsy'' ways to prove the equality since they go
  84.    around the bush: proving 0.9999... = 1 directly is much easier.
  85.  
  86.    You can even have that while you are proving it the ``clumsy'' way,
  87.    you get proof of the result in another way. For instance, in the first
  88.    argument the first step is showing that 0.9999... = 1 is real indeed.
  89.    You can do this by giving the formal proof stated in the beginning of
  90.    this FAQ question. But then you have 0.9999... as corollary. So the
  91.    rest of the argument is irrelevant: you already proved what you wanted
  92.    to prove.
  93.  
  94.  
  95.  
  96.    References
  97.  
  98.    R.V. Churchill and J.W. Brown. Complex Variables and Applications.
  99.    0.9999... = 1 ed., McGraw-Hill, 1990.
  100.  
  101.  
  102.  
  103.    E. Hewitt and K. Stromberg. Real and Abstract Analysis.
  104.    Springer-Verlag, Berlin, 1965.
  105.  
  106.  
  107.  
  108.    W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 1976.
  109.  
  110.  
  111.  
  112.    L. Shapiro. Introduction to Abstract Algebra. McGraw-Hill, 1975.
  113.  
  114.  
  115.  
  116.    This subsection of the FAQ is Copyright (c) 1994 Hans de Vreught. Send
  117.    comments and or corrections relating to this part to
  118.    hdev@cp.tn.tudelft.nl.
  119.  
  120.  
  121.      _________________________________________________________________
  122.  
  123.  
  124.  
  125.     alopez-o@barrow.uwaterloo.ca
  126.     Tue Apr 04 17:26:57 EDT 1995
  127.  
  128.