home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Geometry / geometry-3.5.iso / GEOMETRY / CHAPTER2.7Y < prev    next >
Text File  |  1995-04-21  |  11KB  |  211 lines
  1. à 2.7èMore Geometric Proçs for Angles
  2. äèPlease prove ê followïg êorems or show that êy are
  3. not universally true by counterexample.
  4. â 
  5. èèèèèèèèè If "hypoêsis," ên "conclusion"
  6. èè Proç:èStatementèèèèèèèèèè Reason
  7. èèèèèè Facts from ê hypoêsisèè Given
  8. èèèèèè Statement ç factsèèèèèèDefïition, axiom, or êorem
  9. éS1 In this section we will look at some proçs about angles that 
  10. are similar ë ê proçs ï ê last section about segments.èWe will 
  11. need one defïition å an axiom.
  12. è
  13. Defïition 2.7.1èLINEAR PAIR:èA lïear pair ç angles is an adjacent 
  14. pair ç angles whose outside rays form a straight angle.
  15.  
  16. Axiom 15:èIf two angles form a lïear pair, ên êy are supplementary.
  17.  
  18.  
  19.  
  20. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèConsider ê angles
  21. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèï ê figure.
  22.  
  23. @fig2701.BMP,75,175,147,74
  24.  
  25. Theorem:èIf ▒╖ ïtersects ║┤ at P, ên ╬APB å ╬BPC are supplementary
  26. angles.èAlso, ╬APE å ╬EPC are supplementary.èLikewise ╬EPA å ╬APB,
  27. ╬BPC å ╬CPE form supplementary angles.
  28. èProç:èStatementèèèèèèèèèèèèèè Reason
  29. èèèèè1. ▒╖ ïtersects ║┤ at Pèèèèèèè1. Given 
  30. èèèèè2. ╬APB ╬BPC form a lïear pairèèè 2. Defïition ç lïear
  31. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè pair
  32. èèèèè3. ╬APB å ╬BPC are supplementaryèè3. (15)Lïear pairs are
  33. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè supplementary
  34. èèèèè4. Similarly ê oêr three pairsèè4. Same reasons as above
  35. èèèèèèè ç angles are supplementary
  36.  1èèPlease prove ê given statement is true or show that it isèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  37. èèèèèèèèèèèèèèèèènot universally true by counterexample.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  38. èèèèèèèèèèèèèèèèèTheorem: If ╬1 ╧ ╬3, ên ╬2 ╧ ╬4.
  39. èèèèèèèèèèèèèèèèè(╬1 å ╬2, ╬3 å ╬4 are supplements)
  40. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  41. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proçèèè
  42. @fig2702.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  43. üèTheorem: If ╬1 ╧ ╬3, ên ╬2 ╧ ╬4
  44. èèèè(╬1 å ╬2, ╬3 å ╬4 are supplements)
  45. èèèèèProç: StatementèèèèèèèèèèèReason
  46. èèèèèèèè 1. ╬1 ╧ ╬3èèèèèèèèèè 1. Givenèèèèèè 
  47. èèèèèèèè 2. ╬1 å ╬2, ╬3 å ╬4èèèè2. Given
  48. èèèèèèèèèèèare supplementsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèments
  49. èèèèèèèè 3. m╬1 + m╬2 = 180°èèèèèè3. Defïition ç 
  50. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè supplements
  51. èèèèèèèè 4. m╬3 + m╬4 = 180°èèèèèè4. Defïition ç 
  52. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè supplements
  53. èèèèèèèè 5. m╬1 + m╬2 = m╬3 + m╬4èèè 5. Transitive axiom
  54. èèèèèèèè 6. m╬1 + m╬2 = m╬1 + m╬4èèè 6. Substitution
  55. èèèèèèèè 7. m╬2 = m╬4èèèèèèèèè 7. Subtraction axiom for
  56. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè equations
  57. Ç A
  58.  2èèPlease prove ê given statement is true or show that it isèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  59. èèèèèèèèèèèèèèèèènot universally true by counterexample.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  60. èèèèèèèèèèèèèèèèèTheorem: If ╬2 å ╬3, are supplementsè 
  61. èèèèèèèèèèèèèèèèèç ╬1, ên ╬2 ╧ ╬3.
  62. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  63. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proçèèè
  64. @fig2703.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  65. üèTheorem: If ╬2 å ╬3 are supplements ç ╬1, ên ╬2 ╧ ╬3.èèè
  66. èèèèèProç: Statementèèèèèèèèèèèè Reason
  67. èèèèèèèè 1. ╬2 å ╬1 are supplementsèèè1. Givenèèèèèè 
  68. èèèèèèèè 2. ╬3 å ╬1 are supplementsèèè2. Givenèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèments
  69. èèèèèèèè 3. m╬2 + m╬1 = 180°èèèèèèè 3. Defïition ç 
  70. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèsupplements
  71. èèèèèèèè 4. m╬3 + m╬1 = 180°èèèèèèè 4. Defïition ç 
  72. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèsupplements
  73. èèèèèèèè 5. m╬2 + m╬1 = m╬3 + m╬1èèèèè5. Transitive axiom
  74. èèèèèèèè 6. m╬2 = m╬3èèèèèèèèèèè6. Subtraction axiom
  75. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèfor equationsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  76. Ç A
  77.  3èèPlease prove ê given statement is true or show that it isèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  78. èèèèèèèèèèèèèèèèènot universally true by counterexample.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  79. èèèèèèèèèèèèèèèèèTheorem: If ╬1 ╧ ╬3, ên ╬2 ╧ ╬4.è 
  80. èèèèèèèèèèèèèèèèè(╬1 å ╬2, ╬3 å ╬4 are complements)
  81. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  82. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proçèèè
  83. @fig2704.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  84. ü Theorem: If ╬1 ╧ ╬3, ên ╬2 ╧ ╬4.
  85. èèèèèèèè(╬1 å ╬2, ╬3 å ╬4 are complements)èè 
  86. èèèè Proç: Statementèèèèèèèèè Reason
  87. èèèèèèèè1. ╬1 ╧ ╬3èèèèèèèèè1. Givenèèèèèè 
  88. èèèèèèèè2. ╬1 å ╬2, ╬3 å ╬4èè 2. Given 
  89. èèèèèèèèèè are complementsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèments
  90. èèèèèèèè3. m╬1 + m╬2 = 90°èèèèè3. Defïition ç complementsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  91. èèèèèèèè4. m╬3 + m╬4 = 90°èèèèè4. Defïition ç complementsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  92. èèèèèèèè5. m╬1 + m╬2 = m╬3 + m╬4èè5. Transitive axiom
  93. èèèèèèèè6. m╬1 + m╬2 = m╬1 + m╬4èè6. Substitution from 1
  94. èèèèèèèè7. m╬2 = m╬4èèèèèèèè7. Subtraction axiom
  95. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè for equations
  96. èèèèèèèè8. ╬2 ╧ ╬4èèèèèèèèè8. Defïition ç congruentèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  97. Ç A
  98.  4èèPlease prove ê given statement is true or show that it isèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  99. èèèèèèèèèèèèèèèèènot universally true by counterexample.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  100. èèèèèèèèèèèèèèèèèTheorem: If ╬2 å ╬3 are complementsè 
  101. èèèèèèèèèèèèèèèèèç ╬1, ên ╬2 ╧ ╬3.
  102. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  103. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proçèèè
  104. @fig2705.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  105. ü Theorem: If ╬2 å ╬3 are complements ç ╬1, ên ╬2 ╧ ╬3.èèèèèèèè 
  106. èèèè Proç: Statementèèèèèèèèè Reason
  107. èèèèèèèè1. ╬2 å ╬1 areèèèèèè1. Given 
  108. èèèèèèèèèè complementsèèèèèè
  109. èèèèèèèè2. ╬3 å ╬1 areèèèèèè2. Given 
  110. èèèèèèèèèè complementsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèments
  111. èèèèèèèè3. m╬2 + m╬1 = 90°,èèèè 3. Defïition ç complements
  112. èèèèèèèèèè m╬3 + m╬1 = 90°èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  113. èèèèèèèè4. m╬2 + m╬1 = m°3 + m╬1èè4. Transitive axiomèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  114. èèèèèèèè5. m╬2 = m╬3èèèèèèèè5. Subtraction axiom for
  115. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè equations
  116. èèèèèèèè6. ╬2 ╧ ╬3èèèèèèèèè6. Defïition ç congruentèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  117. Ç A
  118.  5èèPlease prove ê given statement is true or show that it isèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  119. èèèèèèèèèèèèèèèèènot universally true by counterexample.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  120. èèèèèèèèèèèèèèèèèTheorem: If ╬1 å ╬3 are verticalè 
  121. èèèèèèèèèèèèèèèèèangles, ên ╬1 ╧ ╬3.
  122. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  123. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proçèèè
  124. @fig2706.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  125. ü Theorem: If ╬1 å ╬3 are vertical angles, ên ╬1 ╧ ╬3.èèèèèèèè 
  126. èèèè Proç: StatementèèèèèèèèèReason
  127. èèèèèèèè1. ╬1 å ╬3 areèèèèè 1. Given 
  128. èèèèèèèèèè vertical anglesèèèèè 
  129. èèèèèèèè2. ╬1 å ╬2 form aèèèè2. Defïition ç lïear pair 
  130. èèèèèèèèèè lïear pairèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè ments
  131. èèèèèèèè3. ╬3 å ╬2 form aèèèè3. Defïition ç lïear pair
  132. èèèèèèèèèè lïear pairèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  133. èèèèèèèè4. ╬1 å ╬2 areèèèèè 4. (15)Lïear pairs are
  134. èèèèèèèèèè supplementsèèèèèèèèsupplementsèèèèèèèèèèèèèèè 
  135. èèèèèèèè5. ╬2 å ╬3 areèèèèè 5. (15)Lïear pairs are
  136. èèèèèèèèèè supplementsèèèèèèèèsupplements
  137. èèèèèèèè6. ╬1 ╧ ╬3èèèèèèèè 6. Supplements ç ê same 
  138. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèangle are congruentèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  139. Ç A
  140.  6èèPlease prove ê given statement is true or show that it isèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  141. èèèèèèèèèèèèèèèèènot universally true by counterexample.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  142. èèèèèèèèèèèèèèèèèTheorem: If ╬1 å ╬2 form a lïearè 
  143. èèèèèèèèèèèèèèèèèpair å m╬1 = 90°, ên m╬2 = 90°.
  144. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  145. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proçèèè
  146. @fig2707.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  147. ü Theorem: If ╬1 å ╬2 form a lïear pair å m╬1 = 90°, 
  148. èèèèèèèèên ╬2 = 90°.è
  149. èèèè Proç: StatementèèèèèèèèèReason
  150. èèèèèèèè1. ╬1 å ╬2 formèèèèè1. Given 
  151. èèèèèèèèèè a lïear pairèèèèèè
  152. èèèèèèèè2. m╬1 = 90°èèèèèèè 2. Givenèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèments
  153. èèèèèèèè3. ╬1 å ╬2 areèèèèè 3. (15)Lïear pairs are 
  154. èèèèèèèèèè supplementsèèèèèèèèsupplementsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  155. èèèèèèèè4. m╬1 + m╬2 = 180°èèèè4. Defïition ç supplementsèèèèèèèèè 
  156. èèèèèèèè5. 90° + m╬2 = 180°èèèè5. Substitution from 2
  157. èèèèèèèè6. m╬2 = 90°èèèèèèè 6. Substraction axiom for 
  158. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèequationsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  159. Ç A
  160.  7èèPlease prove ê given statement is true or show that it isèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  161. èèèèèèèèèèèèèèèèènot universally true by counterexample.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  162. èèèèèèèèèèèèèèèèèTheorem: If ╬APE is a straight angle,è 
  163. èèèèèèèèèèèèèèèèèên m╬APB + m╬BPC + ╬CPE = 180°.
  164. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  165. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proçèèè
  166. @fig2708.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  167. ü Theorem: If ╬APE is a straight angle, ên m╬APB + m╬BPC + 
  168. èèèèèèèèè m╬CPEè=è180°.
  169. èèèè Proç: Statementèèèèèèèèè Reason
  170. èèèèèèèè1. ╬APE is a straightèèè 1. Given 
  171. èèèèèèèèèè angleèèèè
  172. èèèèèèèè2. m╬APB + m╬BPC = m╬APCèè2. (12)Angle addition axiomèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèments
  173. èèèèèèèè3. ╬APC å ╬CPE areèèèè3. Defïition ç lïear pair
  174. èèèèèèèèèè lïear pairèèèèèèèèèèèèèèè
  175. èèèèèèèè4. ╬APC å ╬CPE areèèèè4. (15)Lïear pairs are
  176. èèèèèèèèèè supplementsèèèèèèèè supplementsèè
  177. èèèèèèèè5. m╬APC + m╬CPE = 180°èè 5. Defïition ç supplements
  178. èèèèèèèè6. m╬APB + m╬BPC + m╬CPEèè6. Substitution from 2 
  179. èèèèèèèèèè = 180°èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  180. Ç A
  181.  8èèPlease prove ê given statement is true or show that it isèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  182. èèèèèèèèèèèèèèèèènot universally true by counterexample.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  183. èèèèèèèèèèèèèèèèèTheorem: If ╬1 ╧ ╬4, ên ╬2 ╧ ╬3.è 
  184. èèèèèèèè 
  185. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  186. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proçèèè
  187. @fig2709.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  188. ü Theorem: If ╬1 ╧ ╬4, ên ╬2 ╧ ╬3.è
  189. èèèè Proç: StatementèèèèèèèèèèèèReason
  190. èèèèèèèè1. ╬1 ╧ ╬4èèèèèèèèèèè 1. Given 
  191. èèèèèèèè2. ╬1 å ╬2 form lïear pairèè2. Givenèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè ments
  192. èèèèèèèè3. ╬3 å ╬4 form lïear pairèè3. Givenèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  193. èèèèèèèè4. ╬1 å ╬2 are supplementsèè 4. (15)Lïear pair
  194. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  195. èèèèèèèè5. ╬3 å ╬4 are supplementsèè 5. (15)Lïear pairèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  196. èèèèèèèè6. m╬1 + m╬2 = 180°èèèèèèè6. Defïition ç sup.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  197. èèèèèèèè7. m╬3 + m╬4 = 180°èèèèèèè7. Defïiiën ç sup.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  198. èèèèèèèè8. m╬1 + m╬2 = m╬3 + m╬4èèèè 8. Transitive axiom
  199. èèèèèèèè9. m╬1 = m╬4èèèèèèèèèè 9. Defïition ç con-
  200. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèègruent
  201. èèèèèèè 10. m╬1 + m╬2 = m╬3 + m╬1èèèè10. Substitution
  202. èèèèèèè 11. m╬2 = m╬3èèèèèèèèèè11. Subtraction axiomèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  203. Ç A
  204.  
  205.  
  206.  
  207.  
  208.  
  209.  
  210.  
  211.