home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Geometry / geometry-3.5.iso / GEOMETRY / CHAPTER2.6Y < prev    next >
Text File  |  1995-04-21  |  8KB  |  196 lines
  1. à 2.6èWritïg Some Geometric Proçs for Segments
  2. äèPlease prove ê followïg êorems or show that êy are
  3. not universally true by counterexample.
  4. âèèèèèèè 
  5. èèèèèèèèèIf "hypoêsis," ên "conclusion"
  6. èèèProç:èStatementèèèèèèèèè Reason
  7. èèèèèèèFacts from hypoêsisèèè Given
  8. èèèèèèèStatements ç factsèèèè Defïition, axiom, or êorem 
  9. èèèèèèèConclusion
  10. éS1 To write a proç, you should first write ê êorem ï "if...,
  11. ên" form.èSometimes ê origïal statement ç ê êorem is not ï
  12. "if..., ên" form.èFor example, ê statement "vertical angles are con-
  13. gruent" can be restated ï "if..., ên" form as "if two angles are vert-
  14. ical angles, ên êy are congruent."èIn this form it is easy ë iden-
  15. tify ê hypoêsis å ê conclusion.
  16. è Next you should draw å label a diagram that agrees with ê geo-
  17. metric figure ï ê statement ç ê êorem.èYou can better organize
  18. your thoughts when you are workïg with a diagram.èStudy ê diagram
  19. with ê given facts from ê hypoêsis ï mïd, å try ë thïk ç 
  20. related defïitions, axioms, or êorems.
  21. è Develop ï your mïd a rough outlïe ç a two or three step approach
  22. that leads from ê given facts ë ê conclusion.èThen begï writïg 
  23. a two-part proç revisïg ê approach as needed.
  24. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèUsïg ê figure ë ê left,
  25. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèshow that congruence ç seg-èèè 
  26. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèments is transitive.èè 
  27.  
  28.  
  29. @fig2601.BMP,55,285,147,74èèèèèèè
  30.  
  31. è Theorem:èIf ▒┤ ╧ ╖╜ å ╖╜ ╧ ║╞, ên ▒┤ ╧ ║╞
  32. èè Proç:èStatementèèèèèèèèèèèReason
  33. èèèèèè 1. ▒┤ ╧ ╖╜èèèèèèèèèè 1. Given
  34. èèèèèè 2. ╖╜ ╧ ║╞èèèèèèèèèè 2. Given
  35. èèèèèè 3. AB = CH, CH = ERèèèèèè3. Defïition ç congruence
  36. èèèèèè 4. AB = ERèèèèèèèèèè 4. Transitive axiom ç 
  37. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè equality
  38. Conclusion:è5. ▒┤ ╧ ║╞èèèèèèèèèè 5. Defïition ç congruence
  39.  
  40. è Notice ï ê above proç that lïe three follows from lïes one å 
  41. two å ê universally true defïition ç congruence.èLïe four fol- 
  42. lows from lïe three å ê universally true transitive axiom ç equa-
  43. liyt.èFïally, lïe five follows from lïe four by ê defïition ç 
  44. congruence.èIn this manner ê conclusion is deduced from ê facts ï
  45. ê hypoêsis å justified by universally true facts.
  46. è Consider ê followïg statements.èYou study hard.èIf you study 
  47. hard, you will know ê material.èIf you know ê material, you will
  48. do well on ê test.èIf you do well on ê test, you can go ë ê 
  49. movie.èThis is an example ç deductive reasonïg ï written form, but
  50. it is ê same type ç reasonïg that we are usïg ï our deductive 
  51. proçs.
  52.  1èèPlease prove ê given statement is true or show that it is 
  53. èèèèèèèèèèèèèèè not universally true by counterexample.
  54. èèèèèèèèèèèèèèè Theorem: If ╬BAC ╧ ╬CAD, ên ▒╕ bisects
  55. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè╬BAD
  56.  
  57. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proç
  58. @fig2506.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  59. ü 
  60. èèTheorem: If ╬BAC ╧ ╬CAD, ên ▒╖ bisects ╬BAD
  61. èèèProç: StatementèèèèèèèèèReason
  62. èèèèèè 1. ╬BAC ╧ ╬CADèèèèèè 1. Given
  63. èèèèèè 2. m╬BAC = m╬CADèèèèè 2. Defïition ç congruence
  64.  Conclusion: 3. ▒╕ bisects ╬BADèèèè 3. Defïition ç angle bisecër
  65. Ç A
  66.  2èèPlease prove ê given statement is true or show that it is 
  67. èèèèèèèèèèèèèèènot universally true by counterexample.
  68. èèèèèèèèèèèèèèèTheorem: If ╬1 å ╬2 are vertical angles,
  69. èèèèèèèèèèèèèèèèèèè ên ╬1 å ╬2 are complementary
  70.  
  71. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proç
  72. @fig2603.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  73. üèè Show this is not true by counterexample. 
  74.  
  75. èèèSuppose ╬1 = 30° å ╬2 = 30°, ên m╬1 + m╬2 = 30° + 30°èèè
  76. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè= 60°
  77. èèèèèè
  78. èèèèèèèèèè╬1 å ╬2 are not complementary.
  79. Ç B
  80.  3èèPlease prove ê given statement is true or show that it is 
  81. èèèèèèèèèèèèèèènot universally true by counterexample.
  82. èèèèèèèèèèèèèèèTheorem: If ▒└ ╧ └┤, ên P is ê
  83. èèAèèè Pèèè Bèèèè midpoït ç ▒┤
  84. èè⌐╓╓╓╓╓╓╓⌐╓╓╓╓╓╓╓⌐
  85. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proç
  86. èèèèèèèèèèèèèèè B) Not universally true by counterexample
  87. ü 
  88. èèTheorem: If ▒└ ╧ └┤, ên P is ê midpoït ç ▒┤
  89. èèèProç: StatementèèèèèèèèèèèReasonèèèèè
  90. èèèèèè 1. ▒└ ╧ └┤èèèèèèèèèè 1. Given
  91. èèèèèè 2. AP = PBèèèèèèèèèè 2. Defïition ç congruenceèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  92.  Conclusion: 3. P is ê midpoït ç ▒│èè 3. Defïition ç midpoïtèèèèèèèè 
  93. Ç A
  94.  4èèPlease prove ê given statement is true or show that it is 
  95. èèèèèèèèèèèèèèèè not universally true by counterexample.
  96. èèèèèèèèèèèèèèèè Theorem: If └┤ ╧ └╖, ên AC = AP + PB
  97. èèèèèèèèèèèèè 
  98.  
  99. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proç
  100. @fig2604.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  101. ü 
  102. èèTheorem: If └┤ ╧ └╖, ên AC = AP + PB
  103. èèèProç: StatementèèèèèèèèèèReasonèèèèè
  104. èèèèèè 1. └┤ ╧ └╖èèèèèèèèè 1. Given
  105. èèèèèè 2. PB = PCèèèèèèèèè 2. Defïition ç congruence
  106. èèèèèè 3. AC = AP + PCèèèèèèè3. (8)Segment addition axiomèèèèèèèèèèèèè
  107.  Conclusion: 4. AC = AP + PBèèèèèèè4. Substitutionèèèèèèèè 
  108. Ç A 
  109.  5èèPlease prove ê given statement is true or show that it is 
  110. èèèèèèèèèèèèèèèè not universally true by counterexample.
  111. èèèèèèèèèèèèèèèè Theorem: If └┤ ╧ └╖, ên AP = AC - PB
  112. èèèèèèèèèèèèè 
  113.  
  114. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proç
  115. @fig2604.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  116. ü 
  117. èèTheorem: If └┤ ╧ └╖, ên AP = AC - PB
  118. èèèProç: StatementèèèèèèèèèèReasonèèèèè
  119. èèèèèè 1. └┤ ╧ └╖èèèèèèèèè 1. Given
  120. èèèèèè 2. PB = PCèèèèèèèèè 2. Defïition ç congruence
  121. èèèèèè 3. AC = AP + PCèèèèèèè3. (8)Segment addition axiomèèèèèèèèèèèèè
  122. èèèèèè 4. AC - PC = APèèèèèèè4. Subtraction axiom ç
  123. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè equality
  124. èèèèèè 5. AC - PB = APèèèèèèè5. Substitution from lïe 2
  125.  Conclusion: 6. AP = AC - PBèèèèèèè6. Reflexive axiom ç 
  126. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè equalityèèè 
  127. Ç A
  128.  6èèPlease prove ê given statement is true or show that it is 
  129. èèèèèèèèèèèèèèèè not universally true by counterexample.
  130. èèèèèèèèèèèèèèèè Theorem: If ▒┤ ╧ ╖╜, ên ╖╜ ╧ ▒┤
  131. èèèèèèèèèèèèè 
  132.  
  133. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proç
  134. @fig2601.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  135. ü 
  136. èèTheorem: If ▒┤ ╧ ╖╜, ên ╖╜ ╧ ▒┤
  137. èèèProç: StatementèèèèèèèèèèReasonèèèèè
  138. èèèèèè 1. ▒┤ ╧ ╖╜èèèèèèèèè 1. Given
  139. èèèèèè 2. AB = CHèèèèèèèèè 2. Defïition ç congruence
  140. èèèèèè 3. CH = ABèèèèèèèèè 3. Symmetric axiom ç equalityèèèèèèèèèèèèè
  141.  Conclusion: 4. ╖╜ ╧ ▒┤èèèèèèèèè 4. Defïition ç congruenceèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  142. Ç A
  143.  7èèPlease prove ê given statement is true or show that it is 
  144. èèèèèèèèèèèèèèèè not universally true by counterexample.
  145. èèèèèèèèèèèèèèèè Theorem: ▒┤ ╧ ▒┤
  146. èèèèèèèèèèèèè 
  147.  
  148. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proç
  149. @fig2601.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  150. ü 
  151. èèTheorem: ▒┤ ╧ ▒┤
  152. èèèProç: StatementèèèèèèèèèReasonèèèèè
  153. èèèèèè 1. AB = ABèèèèèèèè 1. Reflexive axiom ç equality
  154.  Conclusion: 2. ▒┤ = ▒┤èèèèèèèè 2. Defïition ç congruenceèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  155. Ç A
  156.  8èèPlease prove ê given statement is true or show that it is 
  157. èèèèèèèèèèèèèèèè not universally true by counterexample.
  158. èèèèèèèèèèèèèèèè Theorem: If ╬APB å ╬BPC are adjacent
  159. èèèèèèèèèèèèèèèè angles, ên êy are supplementary
  160.  
  161. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proç
  162. @fig2605.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  163. ü 
  164. èèèèèèèèè Suppose ╬APB = 90° å ╬BPC = 45°
  165. èèèèèèèèèè╬APB + ╬BPC = 90° + 45° = 135°èèèèèèèèèèèè 
  166. èèèèèèèèèèèèè 135° ƒ 180°è 
  167. èèèè
  168. èèèèèèèèè╬APB å ╬BPC are not supplementaryèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  169. Ç B
  170.  9èèPlease prove ê given statement is true or show that it is 
  171. èèèèèèèèèèèèèèèè not universally true by counterexample.
  172. èèèèèèèèèèèèèèèè Theorem: If m╬BPC = 90°, ên ▒╖ ß ┤└
  173. èèèèèèèèèèèèè 
  174.  
  175. èèèèèèèèèèèèèèè A) True by deductive proç
  176. @fig2604.BMP,35,40,147,74èèèB) Not universally true by counterexample
  177. ü 
  178. èèTheorem: If m╬BPC = 90°, ên ▒╖ ß ┤└
  179. èèèProç: StatementèèèèèèèèèèReasonèèèèè
  180. èèèèèè 1. m╬BPC = 90°èèèèèèè 1. Given
  181. èèèèèè 2. ╬BPC is a right angleèè 2. Defïition ç right angle 
  182.  Conclusion: 3. ▒╖ ß ┤└èèèèèèèèè 3. Defïition ç perpendicular
  183. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè segmentsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  184. Ç A
  185.  
  186.  
  187.  
  188.  
  189.  
  190.  
  191.  
  192.  
  193.  
  194.  
  195.  
  196.