home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / physics / 18838 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-14  |  2.0 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:18838 sci.math:14928
  2. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  3. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  4. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  5. Subject: Re: Covariant vs. Lie Derivative in Gen. Rel.?
  6. Message-ID: <1992Nov13.213840.10075@galois.mit.edu>
  7. Sender: news@galois.mit.edu
  8. Nntp-Posting-Host: riesz
  9. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  10. References: <1992Nov11.062853.22717@galois.mit.edu> <1992Nov12.172748.16273@kakwa.ucs.ualberta.ca>
  11. Date: Fri, 13 Nov 92 21:38:40 GMT
  12. Lines: 26
  13.  
  14. In article <1992Nov12.172748.16273@kakwa.ucs.ualberta.ca> anderson@fermi.phys.ualberta.ca (Warren G. Anderson) writes:
  15. >In article <1992Nov11.062853.22717@galois.mit.edu> jbaez@riesz.mit.edu (John C.  
  16. >Baez) writes:
  17.  
  18. >> 2) The covariant derivative only requires a tangent vector at one point
  19. >> of the manifold.  The price you pay is this: to define it you need to
  20. >> choose a connection on the (tangent bundle of) the manifold.  Of course,
  21. >> such a connection - the Levi-Civita connection - comes for free if your
  22. >> manifold has a Riemann metric on it.  
  23. >
  24. >Or even a pseudo-Riemannian metric. In fact, wouldn't any way of identifying 
  25. >the tangent space with it's dual be enough?
  26.  
  27. Agreed, pseudo-Riemannian is fine and of course that's what you have in GR.
  28. As for other cases, I'm suspicious.  Take a look at the proof of the
  29. existence and uniqueness of the Levi-Civita connection and see what
  30. happens if your metric is replaced by a nondegenerate *skew-symmetric*
  31. bilinear form on the tangent bundle.  I'm afraid something will go
  32. wrong.  Why?  If nothing did, every symplectic maniold would be blessed
  33. with a natural connection analogous to the Levi-Civita connection.  If
  34. such a thing existed I should have heard about it, but I haven't.  Of
  35. course, it's possible that I am missing out on this crucial facet of
  36. symplectic geometry!!
  37.  
  38. Perhaps the symplectic geometers and fans of gravity theories with
  39. asymmetric metric tensors can straighten this out in a jiffy.
  40.