home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / physics / 18711 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-11  |  2.2 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:18711 sci.math:14788
  2. Path: sparky!uunet!think.com!ames!agate!darkstar.UCSC.EDU!ucscb.UCSC.EDU!ask
  3. From: ask@ucscb.UCSC.EDU (Andrew Stanford Klingler)
  4. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  5. Subject: Re: Covariant vs. Lie Derivative in Gen. Rel.?
  6. Date: 11 Nov 1992 22:20:47 GMT
  7. Organization: University of California; Santa Cruz
  8. Lines: 29
  9. Sender: ask@ucscb.ucsc.edu
  10. Message-ID: <1ds0vvINN8ll@darkstar.UCSC.EDU>
  11. References: <1992Nov10.173224.6690@vision.ummed.edu> <1992Nov11.062853.22717@galois.mit.edu> <1drukoINN801@darkstar.UCSC.EDU>
  12. NNTP-Posting-Host: ucscb.ucsc.edu
  13.  
  14.  
  15. In article <1drukoINN801@darkstar.UCSC.EDU> ask@ucscb.UCSC.EDU (Andrew Stanford Klingler) writes:
  16.  
  17. >JB:
  18. >To repeat: The connection allows you to compare tangent vectors at two >>points of the manifold given only a curve connecting them; the Lie
  19. >derivative requires a whole vector field, to generate a flow that "drags
  20. >tensors along". 
  21.  
  22. I had replied:
  23. :The distinction you're making sounds kind of phony; after all one can
  24. :define a connection using a vector field or a field of one-forms (I may
  25. :be limiting myself to principal fiber bundles here).  It seems like the
  26. :flow is just buried in the structure for a connection (in some sense a
  27. :connection gets you "more than a flow" - the local family of geodesics
  28. :through a point).  Without a connection, you have no way to compare vectors
  29. :at two different points, so you have to transport tensors out, then back
  30. :to the same point and compare them there.  With a connection, you have
  31. :"flow in every direction" (geodesics thru the point) so parallel transport
  32. :vectors from a point to any other point and compare them there.  From this
  33. :point of view Lie derivatives and covariant derivatives represent the
  34. :same geometric thing, I think.  Am I way wrong here?
  35.  
  36. Sorry, I just want to head off criticism at the pass here. Of course if you
  37. define your connection using a vector field, that vector field lives in the
  38. tangent space to the fiber bundle (in some cases T(TM)) rather than TM.  Of
  39. course that's how you get the generalized "family of flows" - you have a
  40. family of vectors corresponding to each point of TM, rather than just a
  41. single vector field on TM.
  42.  
  43.