home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / physics / 18265 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-07  |  7.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!uwm.edu!ux1.cso.uiuc.edu!news.iastate.edu!pv343f.vincent.iastate.edu!abian
  2. From: abian@iastate.edu (Alexander Abian)
  3. Newsgroups: sci.physics
  4. Subject: What's a MANIFOLD
  5. Summary: Subconscious (and thus deeper) understanding of a DIFF. MANIFOLD
  6. Keywords: DIFFERENTIABLE MANIFOLDS
  7. Message-ID: <abian.721017708@pv343f.vincent.iastate.edu>
  8. Date: 6 Nov 92 02:41:48 GMT
  9. Article-I.D.: pv343f.abian.721017708
  10. Sender: news@news.iastate.edu (USENET News System)
  11. Organization: Iowa State University, Ames IA
  12. Lines: 167
  13.  
  14.  
  15.  
  16. Messrs AUSTERN, BAEZ, CHOW, FLOWER, HALL, MOORE, PRATT, RUSIN, SMITH,
  17.        VIDUGIRIS, WEISS, WIENER
  18.  
  19.   I am in my office and on my bookshelf I have  the following books:
  20.  
  21.   Differential Manifolds by G. de Rham, 1984
  22.   Differential Manifolds by Y. Matsushima, 1982
  23.   Differential Forms in Algebraic Topology by R.Bott and L.W. Tu, 1982
  24.   Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups, by D.l Ravenel, 1986
  25.   An Introduction to Algebraic Topology by J.Rotman 1988
  26.   Linear Spaces and Differentiation by A. Froelicher and A. Kriegl,1988
  27.  
  28.   Everyone of the above books has a Definition of a Differentiable Manifold. 
  29. I also read your contributions, views, and discussions concerning various
  30. approaches in connection with a definition of a Differentiable Manifold.
  31.   So, I have been exposed (in fact rather technically) to the notion
  32. of a Differentiable Manifold and can recite its definition as described by
  33. some of you and by the abovementioned books (in fact I have known them
  34. for many, many years!).  I know, that it is desirable to have an intrinsic
  35. definition of a Differentiable manifold  without imbeddings, etc, etc, I
  36. know all of that!  HOWEVER, HOWEVER, HOWEVER, HOWEVER, HOWEVER,
  37.   
  38.  HOWEVER, if you wake me up from a deep sleep around 4 a.m. and ask me
  39.      
  40.  WHAT IS A 2-DIMENSIONAL DIFFERENTIABLE MANIFOLD OF A  EUCL. 3-SPACE R^3
  41.  
  42. I will answer you as followws which is stored in my subconscious and there-
  43. fore which has touched me deeply and convincingly  and which is all content
  44. with minimum amount of noise ! 
  45.  
  46.  ANSWER:  A 2-dimensional Differentiable manifold of R^3 space  is the
  47.          set of all  3-tuples   (x,y,z)  which satisfy some system of
  48.          3-equations in  2 parameters  p, q  of the following form:
  49.  
  50.  
  51.       x =  x(p,q)        with parameters  p, q ranging over some pairs of   
  52.                          real numbers such that  x(p,q), y(p,q), z(p,q)   
  53.  (1)  y =  y(p,q)        have part. deriv. of all orders and the Jacobian  
  54.          
  55.       z =  z(p,q)        |  dx/dp  dx/dq |    has rank 2 for  p,q
  56.                          |  dy/dp  dy/dq |    ranging over the above 
  57.                          |  dz/dp  dz/dq |    pairs.
  58.  
  59.  
  60. In the Jacobian determinant all derivatives are partial.  I don't have
  61. a "round d" on my keybord !
  62.  
  63.      Here is an example of a 2-diff. manifold of R^3
  64.  
  65.  
  66.       x = cos p + cos q              |  -sin p     -sin q |    where this
  67.                                      |                    |    Jacobian has  
  68. (2)   y = sin p + sin q              |   cos p      cos q |    rank 2 if
  69.                                      |                    |    sin(q-p) is
  70.       z = (-1-2cos(u-v)^(1/2)        |   dz/du      dz/dv |    not zero
  71.  
  72.  (it is too late and I left the third line in the Jacobian in implicit 
  73.   form.  Believe me I can partial differentiate!)
  74.  
  75. eliminating  p, q  in the above  3 equations we obtain
  76.       
  77.       z = (-x^2 - y^2 + 1)^(1/2)   which shows that (2) is the upper shell
  78.  
  79. of the unit sphere which is a 2- diff. manifold in R^3
  80.  
  81.  
  82.     Now, any 2-diff  manifold in  R^4 space  will be the set of all  4-tuples 
  83.  
  84. (x,y,z,t)   which satisfy some system of 4 equations in 2-parameters p,q
  85.  
  86. of the following form:
  87.  
  88.        x = x(p,q)         with parameters p,q range over pairs of real num-
  89.                           bers such that the functions x(p,q), y(p,q),   
  90. (3)    y = y(p,q)         z(p,q), t(p,q) have part. deriv. of all orders 
  91.                           and the Jacobian 
  92.        z = z(p,q)        
  93.                           | dx/dp    dx/dq |     has rank 2 for  p,q
  94.        t = t(p,q)         | dy/dp    dy/dq |     ranging over the
  95.                           | dz/dp    dz/dq |     above pairs
  96.                           | dt/dp    dt/dq |  
  97.  
  98.  
  99.  It has been shown, that for suitable  x(p,q), y(p,q), z(p,q), t(p,q)  
  100. (3) may describe the Klein Bottle.  
  101.  
  102.  Thus, both the 2-sphere  and  KLEIN bottle are 2-dimensional diff. 
  103. manifolds.  
  104.  
  105.   Hovever  whereas  2-sphere can be described by 3-equations (2)  with 
  106. 2 parameters ,the Klein bottle cannot be described by 3-equations in 2 
  107. parameters ,but (as mentioned above) , the Klein bottle can be described
  108. by 4 equations in 2-parameters of the form  (3).
  109.  
  110.   So, the above is the essential difference between  2-sphere and Klein
  111. bottle.  One has to mentione that 2-sphere can also be described by  4
  112. equations in 2-parameters, in fact by 10 equations in 2-parameters. But
  113. this does not make Klein bottle and 2-spehre diffeomorphic, sincve 2
  114. sphere can by described by 3 equations with 2 parameters whereas Klein
  115. bottle cannot be so described. Indeed, Kline bottle is not diffeomorphic
  116. with 2-spehere.
  117.  
  118.   In general, if you wake me up at 4 a.m. I will give you the following
  119. general definition.
  120.  
  121.  
  122.   DEFINITION.  An m-dimensional Differentiable Manifold of  R^n   (of
  123. course with  m  less than or equal to  n>1) is a set of  n-tuples
  124. (x(1), x(2), x(3), ..., x(n))  which satisfy some  n equations in  m
  125. parameters p(1), p(2), p(3), ..., p(m)  of the form:
  126.  
  127.  
  128.            x(1)  = x(1) ( p(1), p(2), p(3), ..., p(m) )     
  129.      
  130.            x(2)  = x(2) ( p(1), p(2), p(3), ..., p(m) )
  131.  
  132. (4)        x(3)  = x(3) ( p(1), p(2), p(3),  ..., p(m) )
  133.      
  134.             ............................................
  135.             ............................................
  136.  
  137.            x(n)  = x(n) ( p(1), p(2), p(3),  ..., p(m) ) 
  138.  
  139. with parameters  p(1), ..., p(m)  ranging over the set of m-tuples of real
  140. numbers such that the functions x(1), ..., x(n)  have part. deriv. of all
  141. orders and such that that  n  by  m  Jacobian given by (5) has rank  m
  142. when parameters range over the m-tuples.      
  143.  
  144.  
  145.              |  dx(1)/dp(1)    dx(1)/dp(2)  ...   dx(1)/dp(m) |
  146.              |                                                |
  147.              |  dx(2)/dp(1)    dx(2)/dp(2)  ...   dx(2)/dp(m) | 
  148. (5)          |                                                |
  149.              |  dx(3)/dp(1)    dx(3)/dp(2)  ...   dx(3)/dp(m) |
  150.              |                                                |
  151.              |       ..................................       |
  152.              |       ..................................       |
  153.              |                                                |
  154.              |  dx(n)/dp(1)    dx(n)/dp(2)   ...   dx(n)/dp(m)|  
  155.  
  156.  
  157.  
  158.   Please observe  that an m-diff.manifold of R^n  is  described by
  159.                   n equations in  m parameters such that ....
  160.  
  161.  
  162.  
  163. I only  talk about  m-DIFF.MANIFOLDS IN R^n  (my subconscious stores
  164. only this setup.  But it touches me deeply).
  165.  
  166.      It is around 1a.m., please do not assume that I do not know all the
  167. other Definitions of an  m-diff. manifiold -  At  4.am.  (in fact , even 
  168. now  at  around  1 a.m)  I LIKE THE ONE THAT I GAVE ABOVE.
  169.  
  170.     Of course, the Jacobian pops up automatically when in (4) one replaces
  171. the column   of  x(1), x(2), ..., x(n)   on the left of  =  by the 
  172. column of  dx(1), dx(2), ..., dx(n)  and performs the taking of the dif-
  173. ferentials and rewriting the whole thing as a matrix.  I have explained
  174. this before.
  175.     It is 1:15 a.m.  I am exhaustd , but enjoyed typing this.  However, 
  176. there may be some typos.  I am in no position of rereading.
  177.  
  178.  
  179.      With best wishes and regards,
  180.                                                 Alexander ABIAN
  181.