home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / physics / 18217 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-06  |  2.3 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:18217 sci.math:14460
  2. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  3. Path: sparky!uunet!comp.vuw.ac.nz!cc-server4.massey.ac.nz!TMoore@massey.ac.nz
  4. From: news@massey.ac.nz (USENET News System)
  5. Subject: Re: What's a manifold?
  6. Message-ID: <1992Nov5.235709.12816@massey.ac.nz>
  7. Organization: Massey University
  8. References: <1992Nov5.035214.25991@galois.mit.edu> <1992Nov5.060400.14203@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> <SMITH.92Nov5101553@gramian.harvard.edu> <1992Nov5.161930.21320@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  9. Date: Thu, 5 Nov 92 23:57:09 GMT
  10. Lines: 40
  11.  
  12. In article <1992Nov5.161930.21320@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>, pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  13. > 
  14. > In article <SMITH.92Nov5101553@gramian.harvard.edu> smith@gramian.harvard.edu (Steven Smith) writes:
  15. > >pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  16. > >
  17. > This won't wash, you've just replaced one arbitrariness with another
  18. > more complicated one, namely the notion of atlas.
  19.  
  20. An individual atlas may be arbitrary, but the manifold is not. A differentiable
  21. manifold is defined as a set equipped with a COMPLETE atlas. That is
  22. it contains every compatible chart.
  23.  
  24. One atlas is rather like a base for a topology - it describes the manifold
  25. completely because there is only one completion just as a base for a
  26. topology generates a unique topology.
  27.  
  28. > An ATLAS F on a
  29. > topological space M is a family of CHARTS (fi,Ui) where the family <Ui>
  30. > is an open cover of M and each fi:Ui->R^n is a homeomorphism from Ui to
  31. > an open subset of R^n, such that the fi's of overlapping Ui's
  32. > "coordinate smoothly" at the overlap.  A MANIFOLD is a pair (M,F)
  33. > consisting of a topological space M and an atlas F on M.
  34.  
  35. You don't need to build homeomorphisms into the definition. The fi
  36. define a topology such that they become homeomorphisms. There is
  37. no real practical impact to this - either you define the topology first
  38. and then define the manifold structure, or you define them simultaneously.
  39.  
  40. > 
  41. > Furthermore my definition is a *lot* simpler, I'd say, even without
  42. > going into the notion of smooth coordination required to define an
  43. > atlas.
  44. > 
  45. > There has to be some other reason why the complicated notion of atlas
  46. > is essential.
  47.  
  48. In what way is it complicated? A chart seems to be a very natural
  49. expression of the idea of locally Euclidean.
  50.  
  51. Terry Moore
  52.