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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / physics / 18143 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-04  |  2.4 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:18143 sci.math:14409
  2. Path: sparky!uunet!olivea!spool.mu.edu!agate!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  5. Subject: Re: What's a manifold?
  6. Message-ID: <1992Nov5.060400.14203@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  7. Date: 5 Nov 92 06:04:00 GMT
  8. References: <1992Nov3.204551.29715@lmpsbbs.comm.mot.com> <1992Nov5.004804.24757@galois.mit.edu> <1992Nov5.035214.25991@galois.mit.edu>
  9. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  10. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  11. Lines: 31
  12.  
  13. In article <1992Nov5.035214.25991@galois.mit.edu> tycchow@riesz.mit.edu (Timothy Y. Chow) writes:
  14. >
  15. >Well, this definition has the advantage of being easily motivated and
  16. >concrete, but as people started studying manifolds more deeply they
  17. >found that it was often a nuisance to have to be tied to a particular
  18. >function f to define their manifolds.  There were certain geometric
  19. >properties of manifolds that were "intrinsic" to the surface and didn't
  20. >really depend on the function f in any essential way.  It seemed that
  21. >what was needed was a way of defining manifolds without having to pick
  22. >a space R^n for the manifold to live in and specify an explicit function.
  23. >
  24. >Hence the modern approach to manifolds is to define them as objects in
  25. >their own right, without reference to a space that they're imbedded
  26. >in.  This is what motivates the definition that John Baez gives.
  27. >Notice that he doesn't require the manifold to live in some R^n.  The
  28. >extra abstraction is a small price to pay for the simplification and
  29. >logical clarity that it yields, as you will appreciate if you study the
  30. >subject more deeply.  Similarly, smooth manifolds and algebraic
  31. >varieties (and later schemes) are nowadays defined without making them
  32. >live in R^n.
  33.  
  34. Ah, now this is starting to sound very interesting and helpful.  What I
  35. don't understand here is how "living in R^n" is of itself creating
  36. complexity and obscurity.  I can see that the arbitrariness of f might
  37. get in the way.  But where does the complexity and obscurity creep in
  38. if for example we define a manifold to be a smooth retract of an open
  39. subset of R^n?  (This is essentially taking the existence of tubular
  40. neighborhoods as definitive of manifolds, and is how Bill Lawvere likes
  41. to think of them.)
  42. -- 
  43. Vaughan Pratt                There's no truth in logic, son.
  44.