home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / research / 558 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-12  |  2.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!emory!wupost!uwm.edu!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!dan
  2. From: wjcastre@magnus.acs.ohio-state.edu (W.Jose Castrellon G.)
  3. Newsgroups: sci.math.research
  4. Subject: Re: combinatorial set theory
  5. Message-ID: <1992Nov12.220752.28346@magnus.acs.ohio-state.edu>
  6. Date: 12 Nov 92 22:07:52 GMT
  7. Article-I.D.: magnus.1992Nov12.220752.28346
  8. References: <1992Nov11.164014.14768@tolten.puc.cl>
  9. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  10. Organization: The Ohio State University,Math.Dept.(studnt)
  11. Lines: 33
  12. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  13. Nntp-Posting-Host: bottom.magnus.acs.ohio-state.edu
  14. Originator: dan@symcom.math.uiuc.edu
  15. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  16. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  17.  
  18. In article <1992Nov11.164014.14768@tolten.puc.cl> cgutierr@mat.puc.cl (Claudio Gutierrez) writes:
  19.  
  20. >
  21. >I need the following result (that can be of comon sense)
  22. >
  23. >Exists a family of sets *A* = { Ai}_{i \in \omega}
  24. >such that  there is a family
  25. >*F* of infinite subsets of *A* with |*F*|=2^{\omega}
  26. >with the properties:
  27. >  i) Each B \in *F* has F.I.P. (The intersection of a 
  28. >    finite numbers of elements of each B \in *F*  is non empty.
  29. > ii) For all B \in *F* , the intersection of all the
  30. >    elements of B is empty.
  31. >iii) For all B={B1,B2,...} \in *F*, B'={B'12,B'2,...} \in *F*
  32. >    there exists n \in |N  such that
  33. >    Intersection{B1,...,Bn} and  Intersection{B'1,..,B'n}
  34. >    are dosjoint.
  35. >
  36.  
  37. Yes, there is such a family: Let  A_(i,n) be the set of numbers  = i (mod 2^n),
  38. and call  A  the (countable) set of all such  A_(i,n) 's .  Now to get the
  39. uncountable family  B , take all the subsets of  A  that are totally ordered
  40. by inclusion (one can take just the ones that are maximal chains, to make it
  41. easier to visualize).  To see that there are  2^Aleph_0  of them, and that
  42. i, ii and iii hold, note that  N  is the disjoint union of two elements of A
  43. (even and odd numbers), and each of these is again the disjoint union of two
  44. elements of  A ... so one can go along  2^Aleph_0 many paths and choose one
  45. of the two possible sets to get the elements of  B : ordered by inclusion, 
  46. finite intersection non-empty, total intersection empty  and two different 
  47. elements of  B  will start to have pairwise disjoint elements from the moment 
  48. their paths differ, forcing  iii to hold.
  49.  
  50. I wonder what application you have in mind for this, is it a forcing argument?
  51.