home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / research / 554 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-10  |  2.0 KB  |  43 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!decwrl!spool.mu.edu!umn.edu!news.cs.indiana.edu!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!usenet
  3. From: hammond@math.albany.edu (William F. Hammond)
  4. Subject: Primes like 40487
  5. Message-ID: <9211101841.AA08917@phoebe.albany.edu>
  6. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  7. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  8. Organization: University of Illinois at Urbana
  9. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  10. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  11. Date: Tue, 10 Nov 1992 18:41:10 GMT
  12. Lines: 29
  13.  
  14. My unverified computations with PARI [an excellent computer library
  15. slanted toward number theory, by C. Batut, D. Bernardi, H. Cohen and
  16. M. Olivier] show that  40487  is the only odd prime  p  smaller than
  17. 2^31  (about 2.147*10^9) for which the smallest positive primitive
  18. root  c  is NOT a topological generator of the p-adic integers, i.e.,
  19. for which  c  is a solution of the congruence  c^(p-1) = 1 mod p^2.
  20.  
  21. Does anyone else know other primes having this property?  I have
  22. looked at several lists of solutions of the congruence a^(p-1) = 1
  23. mod p^2 for small values of  a  with  p  quite a bit larger than
  24. 2^31, including an unpublished one furnished by Peter Montgomery,
  25. without finding another example.
  26.  
  27. If the phenomenon known as "approximation" makes it reasonable to view
  28. the selection of c as a random selection among the various primitive
  29. roots mod p^2 for p in a finite set of primes, then it is reasonable
  30. to conjecture that there should be infinitely many of these primes.
  31.  
  32. The same line of reasoning would suggest that the probability of one's
  33. not finding such a prime between  x  and  y  (with  x < y)  is about
  34. log(x)/log(y) .
  35.  
  36. ----------------------------------------------------------------------
  37. William F. Hammond                   Dept. of Mathematics & Statistics
  38. 518-442-4625                         SUNYA, Albany, NY 12222 (U.S.A.)
  39. hammond@math.albany.edu               FAX: 518-442-4731
  40. ----------------------------------------------------------------------
  41.  
  42.  
  43.