home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / research / 551 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-08  |  3.3 KB  |  68 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!haven.umd.edu!darwin.sura.net!spool.mu.edu!uwm.edu!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!usenet
  3. From: greg@math.uchicago.edu (Greg Kuperberg)
  4. Subject: Re: A Conjecture About Packings of Balls
  5. Message-ID: <9211082352.AA24164@zaphod.uchicago.edu>
  6. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  7. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  8. Organization: Dept. of Mathematics, Univ. of Chicago
  9. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  10. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  11. In-Reply-To: <9211060833.AA05802@wisdom.weizmann.ac.il>
  12. Date: Sun, 8 Nov 1992 23:52:32 GMT
  13. Lines: 53
  14.  
  15. In article <9211060833.AA05802@wisdom.weizmann.ac.il> you write:
  16. >For a finite ball packing P in R^3 [with balls round but not
  17. >necessarily congruent], let
  18. >a(P)=2(number of tangencies)/(number of balls)
  19. ...
  20. >Conjecture: A = sup a(P) = 12.
  21. ...
  22. >I think I can improve the naive argument above to get something
  23. >better than A<=24, but I don't expect to reach A=12.
  24.  
  25. Your expectation is true and your conjecture is false.  :-)
  26.  
  27. A regular dodecahedron in flat Euclidean space has angles slightly less
  28. than 120 degrees.  On the surface of the 3-sphere, a very large
  29. dodecahedron has angles close to 180 degrees, while a very small one is
  30. close to flat.  Therefore there is one of intermediate size with angles
  31. exactly 120 degrees and as it happens 120 of them tile the 3-sphere.
  32. Inscribing a sphere in each one, we get a packing of the 3-sphere by
  33. 120 spherical caps of a certain size, each kissing twelve others.
  34. I'll call this the hyperdodecahedral packing.
  35.  
  36. Stereographic projection preserves spheres, so we can project
  37. this packing onto Euclidean space, sending some point not contained
  38. in a sphere to the point at infinity.  Thus we get a finite cluster
  39. D with a(D) = 12 exactly.  However, this is trouble, because the sup
  40. of a(D) is not a maximum.  You can always take two clusters of the same
  41. type and make them touch at a single point, increasing a(D) slightly.
  42. In this case you get a(D+D) = 12+1/120.
  43.  
  44. If you are interested in the actual value of A, then here is my best
  45. lower bound:   Take the above cluster D.  If you project it from a
  46. point that lies symmetrically between four spheres, you get a regular
  47. tetrahedron of four big spheres with 116 little spheres on the inside.
  48. I'll call the interior arrangement "hyperdodecahedral grout".  You can
  49. put hyperdodecahedral grout inside any other sphere packing with
  50. tetrahedral crevices, including the dodecahedral arrangement itself,
  51. which yields a better kind of grout.  If you do this once you get a
  52. packing with average kissing number 7152/581 > 12.309, and if you
  53. iterate, the supremum is (I think) 3486/283 > 12.318.
  54.  
  55. Interestingly, a lot of simpler constructions, like taking the
  56. cannonball packing and placing a sphere in each octahedral crevice,
  57. yield a(P) = 12 on the nose.  Perhaps there is one with a(P) = 13 or 12
  58. 1/2 or something like that.
  59.  
  60. This construction is vaguely similar to the example due to A. Bezdek
  61. and W. Kuperberg of packings of long, flat ellipsoids whose density
  62. exceeds the conjectured packing density of spheres in three
  63. dimensions.  (I should finally mention that with a comment of J.  M.
  64. Wills and another comment of mine, you get a sequence of ellipsoid
  65. packings which, in the limit, have a density 2.4% greater than that of
  66. the cannonball packing.)
  67.  
  68.