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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / research / 545 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-08  |  1.5 KB  |  45 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!decwrl!spool.mu.edu!uwm.edu!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!usenet
  3. From: schramm@wisdom.weizmann.ac.il (Schramm Oded)
  4. Subject: A Conjecture About Packings of Balls
  5. Message-ID: <9211060833.AA05802@wisdom.weizmann.ac.il>
  6. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  7. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  8. Organization: University of Illinois at Urbana
  9. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  10. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  11. Date: Fri, 6 Nov 1992 08:33:32 GMT
  12. Lines: 31
  13.  
  14. For a finite ball packing P in R^3, let 
  15.  
  16. a(P)=2(number of tangencies)/(number of balls),
  17.  
  18. then a(P) is the average number of contacts that a ball in P
  19. has.
  20.  
  21. Conjecture: sup a(P) = 12.
  22.  
  23. Let A = sup a(P).  Taking large portions of the infinite
  24. cannonball packing shows that A >= 12.  On the other hand,
  25. the following argument shows that A <= 24.  For each contact
  26. c in the packing, let b(c) be the smaller ball from the
  27. two in contact there, or an arbitrary one if the two are equal.
  28. Since in a packing of equal sized balls at most 12 balls can
  29. contact a single ball (I believe this was stated by Newton,
  30. where can a proof be found?), the correspondence
  31. b : contacts -> balls
  32. is at most 12 to 1.  Therefore A<=24.
  33.  
  34. I think I can improve the naive argument above to get something
  35. better than A<=24, but I don't expect to reach A=12.
  36.  
  37. Is this problem known?  Any related results?
  38.  
  39. Oded
  40.  
  41.  
  42. oschramm@wisdom.weizmann.ac.il
  43.  
  44.  
  45.