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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14782 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-11  |  4.9 KB  |  106 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!secapl!Cookie!frank
  3. From: frank@Cookie.secapl.com (Frank Adams)
  4. Subject: Re: Three-sided coin
  5. Message-ID: <1992Nov11.192804.140054@Cookie.secapl.com>
  6. Date: Wed, 11 Nov 1992 19:28:04 GMT
  7. References: <5413@daily-planet.concordia.ca> <1992Nov10.204733.25206@massey.ac.nz>
  8. Organization: Security APL, Inc.
  9. Lines: 95
  10.  
  11. In article <1992Nov10.204733.25206@massey.ac.nz> news@massey.ac.nz (USENET News System) writes:
  12. > If you want to throw a randomising device, you'd better
  13. >stick to Platonic solids.
  14.  
  15. Actually, Platonic solids is too constrained a condition.  A Platonic solid
  16. must have all faces isomorphic (strictly, in a single orbit under the
  17. symmetries of the object), and likewise for edges and vertices.
  18.  
  19. All that's required for a randomizing device is that the faces are
  20. isomorphic; the constraints on edges and vertices are not relevant.  And, as
  21. it turns out, there other solids which work.
  22.  
  23. There are two infinite families of these, each with 2n sides for each n>2.
  24. The easiest to visualize consists of two n-sided pyramids, with their faces
  25. stuck together.  The regular octahedron is a special case of this, for n=4.
  26. (We count polyhedra as equivalent if they have the same structure.
  27. Polyhedra in this family can be deformed by changing the steepness of the
  28. pyramids without changing the equivalence of the faces.)
  29.  
  30. The second class is a bit harder to visualize.  It can be described as two
  31. n-sided pyramids, stuck together skew, with the faces extended to form
  32. quadrilaterals.  The cube is a special case of this, for n=3.  For actual
  33. randomizing devices, this form is better for n odd, since it then has a top
  34. face; the first class has a top face for n even.  10 sided dice of this form
  35. are commercially available.
  36.  
  37. The other polyhedra of this type can all be "built" from Platonic solids.
  38.  
  39. One way to build them is to build a short pyramid on each face of the solid
  40. (short enough that the previous edges remain convex).  This produces five
  41. distinct polyhedra, with respecively 12, 24, 24, 60, and 60 faces for the
  42. tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, and icosohedron.  These are all
  43. distinct from each other and from the Platonic solids.
  44.  
  45. If the pyramids are made a bit higher, until the old edges become flat,
  46. polyhedra with half as many sides are created: 6, 12, 12, 30, and 30.
  47. However, there are only 2 new solids here: the one created from the
  48. tetrahedron is a cube, and the other pairs with the same number of faces are
  49. in fact the same.  These are called rhombic polyhedra.  The 30-sided rhombic
  50. polyhedron is commercially available, and the 12-sided one may still be.
  51.  
  52. It is also possible to create polyhedra with 12, 24, 24, 60, and 60 faces
  53. with quadilateral faces.  Create a shallow "bump" in the center of each
  54. edge, add a new vertex in the middle of each face (raised), and connect
  55. these new vertices to the "bumps".  This gives us 2 new polyhedra: the pairs
  56. derived from dual regular polyhedra are equivalent, and the one derived
  57. from the tetrahedron is a rhombic dodecahedron.
  58.  
  59. Yet another way to get size 12, 24, 24, 60, and 60 faces creates pentagonal
  60. faces.  Turn each edge into a zig-zag:
  61.  
  62.   /\
  63.     \/
  64.  
  65. and connect the centers of the faces to the "outdents" on the adjacent
  66. edges.  This only produces 2 new polyhedra; again the duals produce
  67. equivalent solids, and the tetrahedron produces the regular dodecahedron.
  68. These two are the only polyhedra with equivalent faces which have a
  69. "handedness"; they cannot be transformed into their mirror images in
  70. 3-space.
  71.  
  72. Finally, one can put a "bump" on each edge, and connect each old face to
  73. both the bumps and the old vertices, giving polyhedra with 24, 48, 48, 120,
  74. and 120 faces.  Again, there only 2 new polyhedra here.  The duals are again
  75. equivalent, and the polyhedron derived from the tetrahedron is the same as
  76. the one derived before by adding bumps to the cube or octahedron.
  77.  
  78. That these are the only possibilities can be shown by considering the
  79. sequence of valences of the vertices around a face.  (This must, of course,
  80. be the same for each face.)  The basic condition is that
  81.  
  82.   sum(1/2 - 1/v_i) < 1
  83.  
  84. which is required for the network to close off into a polyhedron.  The
  85. actual proof involves checking each solution to this, showing that each
  86. produces at most one polyhedron.
  87.  
  88. Note that tilings of the plane with all regions equivalent satisfy the above
  89. condition, with "<" replaced by "=".  For example, 3,6,3,6 gives a tiling
  90. into rhombuses:
  91.  
  92.      *---*     *---*     *---*     *---*
  93.     / \   \   /   / \   / \   \   /   / \
  94.    /   \   \ /   /   \ /   \   \ /   /   \
  95.   *     *---*---*     *     *---*---*     *
  96.    \   /   / \   \   / \   /   / \   \   /
  97.     \ /   /   \   \ /   \ /   /   \   \ /
  98.      *---*     *---*     *---*     *---*
  99.     / \   \   /   / \   / \   \   /   / \
  100.    /   \   \ /   /   \ /   \   \ /   /   \
  101.   *     *---*---*     *     *---*---*     *
  102.    \   /   / \   \   / \   /   / \   \   /
  103.     \ /   /   \   \ /   \ /   /   \   \ /
  104.      *---*     *---*     *---*     *---*
  105.  
  106.