home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14769 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-11  |  2.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!sgiblab!darwin.sura.net!jvnc.net!netnews.upenn.edu!sagi.wistar.upenn.edu
  2. From: weemba@sagi.wistar.upenn.edu (Matthew P Wiener)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Axioms of set theory, infinity and R. Rucker
  5. Message-ID: <97168@netnews.upenn.edu>
  6. Date: 11 Nov 92 19:35:17 GMT
  7. References: <1992Nov6.133138.16642@prl.philips.nl> <96652@netnews.upenn.edu> <ARA.92Nov11024751@camelot.ai.mit.edu>
  8. Sender: news@netnews.upenn.edu
  9. Reply-To: weemba@sagi.wistar.upenn.edu (Matthew P Wiener)
  10. Organization: The Wistar Institute of Anatomy and Biology
  11. Lines: 35
  12. Nntp-Posting-Host: sagi.wistar.upenn.edu
  13. In-reply-to: ara@zurich.ai.mit.edu (Allan Adler)
  14.  
  15. In article <ARA.92Nov11024751@camelot.ai.mit.edu>, ara@zurich (Allan Adler) writes:
  16. >What is the reference to this recent work of Matiyasevich and Jones?
  17.  
  18. I remember a research announcement in BULL AMS, early 80s, with an
  19. explicit universal diophantine equation.
  20.  
  21. >Also, I've never understood what a supercompact cardinal is. Would you
  22. >like to explain the concept?
  23.  
  24. (In my campaign for ASCII fake Greek, I will use % for kappa and $ for
  25. lambda and @ for alpha.  P%[X] denotes the set of %-sized subsets of X)
  26.  
  27. A cardinal % is called measurable if there exists a non-trivial %-additive
  28. ultrafilter on it.  This is equivalent (via an ultrapower of the whole
  29. universe construction) to the assertion that there is an elementary
  30. embedding j:V->M such that %<j(%) and % is the first cardinal moved,
  31. and M^@ is contained in M for @<%.  Not all filters have quite the
  32. right properties for this construction--you have to work with what are
  33. called normal ultrafilters.  There is also a notion, based on the desire
  34. for compactness theorems for infinitary logic, of strongly (and weakly)
  35. compact cardinals.  In terms of ultrafilters, it works out that a cardinal
  36. % is strongly compact if for all $>%, P%[$] has a non-trivial %-additive
  37. ultrafilter. One would like to carry out the same normalization construction
  38. as for measurable cardinals, but the proof just doesn't happen.  So a
  39. supercompact cardinal is _defined_ like the strongly compacts, but with
  40. the additional requirement that P%[$]'s filter is normal from the beginning.
  41. This leads, for any $>%, to elementary embeddings j:V->M such that % is
  42. the first cardinal moved, j(%)>$, and furthermore M^$ is contained in M.
  43.  
  44. The general consensus seems to be that measurable cardinals are fairly
  45. reasonable beasties, with good inner-model theory, but that supercompacts
  46. are beyond any true comprehension.  One indication of this is the recent
  47. taming of AD, at a level well below supercompact.
  48. -- 
  49. -Matthew P Wiener (weemba@sagi.wistar.upenn.edu)
  50.