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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14724 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-10  |  3.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!news.tek.com!ogicse!pdxgate!dehn!neil
  2. From: neil@dehn.mth.pdx.edu (John Neil)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: What is a knot?
  5. Message-ID: <neil.721425760@dehn>
  6. Date: 10 Nov 92 20:02:40 GMT
  7. Article-I.D.: dehn.neil.721425760
  8. References: <1992Nov7.212557.24399@galois.mit.edu>
  9. Sender: news@pdxgate.UUCP
  10. Lines: 60
  11.  
  12. jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez) writes:
  13.  
  14. >In article <COLUMBUS.92Nov6105242@strident.think.com>
  15. >columbus@strident.think.com (Michael Weiss) writes:
  16.  
  17. >>How would one define a (tame) knot, intrinsically?  Definitions I am
  18. >>familiar with either involve modding out by ambient isotopy (in fact
  19. >there
  20. >>are subtle points here, I believe-- perhaps someone more knowledgeable
  21. >>would like to post), or by Reidemeister moves.
  22.  
  23. >Well, a (tame) knot is just a circle embedded in R^3, or, if you prefer
  24. >something less intuitive, S^3.  But you seem to be speaking of the
  25.  
  26. [stuff deleted...]
  27.  
  28. Actually, if you are talking about a tame knot, you must be MUCH more
  29. specific than that.  All knots are embeddings of S^1 in S^3.  The tame
  30. variety are those embeddings which have a FINITE simplicial structure.
  31. A wild knot, while still an embedding of S^1 in S^3 will not have a FINITE
  32. simplicial structure.  Frequently, we construct the notion of tame knots
  33. via PL (piece-wise linear) constructs (polygons in S^3).  That makes everything
  34. nice and linear and allows one to construct ambient isotopy in a well-defined
  35. combinatorial fashion.  In a 3-manifold, the notion of diffeomorphism is
  36. much more complicated than it needs to be since in dimension 3, to be
  37. diffeomorphic is to be homeomorphic.
  38.  
  39. >>Is the field just too young to have a suitably slick and (on first
  40. >>encounter) unintuitive definition?
  41.  
  42. >If you want some definitions that are less intuitive, you could try the
  43. >following.  These are actually definitions of isotopy classes of *links*
  44. >- it soon becomes clear that there's no point in studying knots without
  45. >studying links too.
  46.  
  47. [more stuff deleted...]
  48.  
  49.  
  50. Again, this can (for tame knots) all be described in a nice, orderly,
  51. combinatorial fashion.  While all the algebra and topology fits in well with
  52. everything that is defined in this manner, the field can be studied from a
  53. purely geometric, combinatorial fashion without any of these "exotic" (I use
  54. the term to denote the change in categories) definitions.
  55.  
  56. As an example, in Dale Rolfsen's book "Knots and Links", you will find no
  57. less than 10 different definitions of linking number.  These run the gambit
  58. from algebraic to differential to geometric perspectives.  They all mean
  59. exactly the same thing.  You can choose, then, as your starting point any
  60. of the methods of describing these spaces and show equivalence at each step
  61. to any of the other approaches.
  62.  
  63. --John Neil
  64.  
  65.  
  66.  
  67. --
  68. John Neil, Graduate Teaching Assistant           e-mail:  neil@math.mth.pdx.edu
  69. Mathematics Department                         NeXTMail:  neil@dehn.mth.pdx.edu
  70. Portland State University
  71. =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
  72.