home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14717 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-10  |  2.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!destroyer!cs.ubc.ca!unixg.ubc.ca!unixg.ubc.ca!israel
  2. From: israel@unixg.ubc.ca (Robert B. Israel)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Mercator Projection
  5. Date: 10 Nov 92 18:51:18 GMT
  6. Organization: The University of British Columbia
  7. Lines: 35
  8. Message-ID: <israel.721421478@unixg.ubc.ca>
  9. References: <israel.721212129@unixg.ubc.ca> <1992Nov8.214329.27209@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> <israel.721352141@unixg.ubc.ca> <1992Nov10.020408.22139@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  10. NNTP-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  11.  
  12. In <1992Nov10.020408.22139@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  13.  
  14. >In article <israel.721352141@unixg.ubc.ca> israel@unixg.ubc.ca (Robert B. Israel) writes:
  15. >>If you conformally map the sphere with the North and South poles removed, 
  16. >>1-1 onto a cylinder, don't you have the Mercator projection up to 
  17. >>translation and reflection?
  18.  
  19. >This would imply that the only conformations (is that the word?) of the
  20. >cylinder onto itself are translations and reflections.  Is that true?
  21.  
  22. Yes.  The easiest way to see this is to go back to the sphere with poles
  23. removed.  Let f be a conformal mapping of this 1-1 onto itself.  I assume
  24. that f is orientation preserving (this may or may not be part of your
  25. definition of "conformal" - if not, a reflection will fix it).  At the
  26. poles (in the geographical sense), f can't have an essential singularity
  27. because it's 1-1.  So f is a meromorphic function, i.e. extends to a
  28. mapping of the whole sphere to itself.  This will either leave the poles
  29. fixed or interchange them - if it interchanges them, apply a reflection
  30. through the centre of the sphere (corresponding to 180 degree rotation of
  31. the cylinder).  Now map the sphere with North pole removed to the complex
  32. plane by stereographic projection, the South pole mapping to 0.  Then
  33. f corresponds to an entire function with a pole (in the analytic sense)
  34. at infinity, i.e. a polynomial.  Since it maps 0 to itself and is 1-1,
  35. the only possibilities are f(z) = c z for constant, nonzero c.  This is
  36. a two-dimensional, connected group of mappings, so it must correspond to
  37. the translations on the cylinder (also a two-dimensional group of 
  38. conformal mappings).
  39.  
  40. >-- 
  41. >Vaughan Pratt
  42. -- 
  43. Robert Israel                            israel@math.ubc.ca
  44. Department of Mathematics             or israel@unixg.ubc.ca
  45. University of British Columbia
  46. Vancouver, BC, Canada V6T 1Y4
  47.