home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14700 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-09  |  6.7 KB

  1. Path: sparky!uunet!europa.asd.contel.com!darwin.sura.net!spool.mu.edu!news.nd.edu!mentor.cc.purdue.edu!noose.ecn.purdue.edu!sparkyfs.erg.sri.com!csl.sri.com!csl.sri.com!usenet
  2. From: rar@csl.sri.com (Bob Riemenschneider)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Equation needed
  5. Date: 9 Nov 92 19:29:30
  6. Organization: Computer Science Lab, SRI International, Menlo Park, CA.
  7. Lines: 160
  8. Distribution: USA
  9. Message-ID: <1dna5vINN3ac@roche.csl.sri.com>
  10. References: <1dbud7INNsli@hpsdde.sdd.hp.com>
  11. NNTP-Posting-Host: birch.csl.sri.com
  12. In-reply-to: regard@hpsdde.sdd.hp.com's message of 5 Nov 1992 11:58:31 -0800
  13.  
  14. In article <1dbud7INNsli@hpsdde.sdd.hp.com> regard@hpsdde.sdd.hp.com (Adrienne Regard) writes:
  15.  
  16. >   From: regard@hpsdde.sdd.hp.com (Adrienne Regard)
  17. >   Newsgroups: sci.math
  18. >   Subject: Equation needed
  19. >
  20. >   ...  The person has a better chance of winning the
  21. >   grand prize if he switches, but I don't know how to write the equation to
  22. >   express the probabilities, and I've got a very excited friend who wants
  23. >   proof on this subject. ...
  24.  
  25. If your only objective is to convince someone who doesn't believe it,
  26. you're out of luck.  There's been a lot of discussion of this in the
  27. past, and no one ever seems to convince anyone (s)he's wrong.  Let me argue for
  28. switching using only one "equation", the definition of conditional probability
  29.  
  30.    P(A | B) = P(A & B) / P(B)
  31.  
  32. Here's my model.  Three independent choices are made, at random.  Carol
  33. flips a three-sided fair coin to decide where to put the grand prize;
  34. call the outcomes GP1, GP2, and GP3.  Monty flips a two-sided coin to
  35. decide which goat to reveal if you pick the door with the grand prize
  36. behind it; call the outcomes F1 (for "reveal the lower numbered goat")
  37. and F2 (for "reveal the higher numbered goat").  You flip a three-sided
  38. fair coin to decide which door to pick; call the outcomes C1, C2, and
  39. C3.  All eighteen outcomes
  40.  
  41.    GP1 & C1 & F1 
  42.    GP1 & C1 & F2
  43.    GP1 & C2 & F1
  44.    GP1 & C2 & F2
  45.    GP1 & C3 & F1
  46.    GP1 & C3 & F2
  47.    GP2 & C1 & F1
  48.    GP2 & C1 & F2
  49.    GP2 & C2 & F1
  50.    GP2 & C2 & F2
  51.    GP2 & C3 & F1
  52.    GP2 & C3 & F2
  53.    GP3 & C1 & F1
  54.    GP3 & C1 & F2
  55.    GP3 & C2 & F1
  56.    GP3 & C2 & F2
  57.    GP3 & C3 & F1
  58.    GP3 & C3 & F2
  59.    
  60. are equally likely before the flips.  Hence
  61.  
  62.    P(GP1 & C1 & F1) = 1/18
  63.    P(GP1 & C1 & F2) = 1/18
  64.    P(GP1 & C2 & F1) = 1/18
  65.    P(GP1 & C2 & F2) = 1/18
  66.    P(GP1 & C3 & F1) = 1/18
  67.    P(GP1 & C3 & F2) = 1/18
  68.    P(GP2 & C1 & F1) = 1/18
  69.    P(GP2 & C1 & F2) = 1/18
  70.    P(GP2 & C2 & F1) = 1/18
  71.    P(GP2 & C2 & F2) = 1/18
  72.    P(GP2 & C3 & F1) = 1/18
  73.    P(GP2 & C3 & F2) = 1/18
  74.    P(GP3 & C1 & F1) = 1/18
  75.    P(GP3 & C1 & F2) = 1/18
  76.    P(GP3 & C2 & F1) = 1/18
  77.    P(GP3 & C2 & F2) = 1/18
  78.    P(GP3 & C3 & F1) = 1/18
  79.    P(GP3 & C3 & F2) = 1/18
  80.  
  81. Now everyone flips, and the outcome is determined once you switch or
  82. decline to switch.  First, you look at your coin -- suppose it's C1
  83. -- and that allows you to update the possible outcomes' probabilities.
  84.  
  85.    P(GPi & Cj & Fk | C1) = P(GPi & Cj & Fk & C1) / P(C1)
  86.  
  87. So
  88.  
  89.    P(GP1 & C1 & F1 | C1) = P(GP1 & C1 & F1 & C1) / P(C1) = (1/18)/(1/3) = 1/6
  90.    P(GP1 & C1 & F2 | C1) = P(GP1 & C1 & F2 & C1) / P(C1) = (1/18)/(1/3) = 1/6
  91.    P(GP1 & C2 & F1 | C1) = P(GP1 & C2 & F1 & C1) / P(C1) = 0/(1/3) = 0
  92.    P(GP1 & C2 & F2 | C1) = P(GP1 & C2 & F2 & C1) / P(C1) = 0/(1/3) = 0
  93.    P(GP1 & C3 & F1 | C1) = P(GP1 & C3 & F1 & C1) / P(C1) = 0/(1/3) = 0
  94.    P(GP1 & C3 & F2 | C1) = P(GP1 & C3 & F2 & C1) / P(C1) = 0/(1/3) = 0
  95.    P(GP2 & C1 & F1 | C1) = P(GP2 & C1 & F1 & C1) / P(C1) = (1/18)/(1/3) = 1/6
  96.    P(GP2 & C1 & F2 | C1) = P(GP2 & C1 & F2 & C1) / P(C1) = (1/18)/(1/3) = 1/6
  97.    P(GP2 & C2 & F1 | C1) = P(GP2 & C2 & F1 & C1) / P(C1) = 0/(1/3) = 0
  98.    P(GP2 & C2 & F2 | C1) = P(GP2 & C2 & F2 & C1) / P(C1) = 0/(1/3) = 0
  99.    P(GP2 & C3 & F1 | C1) = P(GP2 & C3 & F1 & C1) / P(C1) = 0/(1/3) = 0
  100.    P(GP2 & C3 & F2 | C1) = P(GP2 & C3 & F2 & C1) / P(C1) = 0/(1/3) = 0
  101.    P(GP3 & C1 & F1 | C1) = P(GP3 & C1 & F1 & C1) / P(C1) = (1/18)/(1/3) = 1/6
  102.    P(GP3 & C1 & F2 | C1) = P(GP3 & C1 & F2 & C1) / P(C1) = (1/18)/(1/3) = 1/6
  103.    P(GP3 & C2 & F1 | C1) = P(GP3 & C2 & F1 & C1) / P(C1) = 0/(1/3) = 0
  104.    P(GP3 & C2 & F2 | C1) = P(GP3 & C2 & F2 & C1) / P(C1) = 0/(1/3) = 0
  105.    P(GP3 & C3 & F1 | C1) = P(GP3 & C3 & F1 & C1) / P(C1) = 0/(1/3) = 0
  106.    P(GP3 & C3 & F2 | C1) = P(GP3 & C3 & F2 & C1) / P(C1) = 0/(1/3) = 0
  107.  
  108. Next, Monty reveals not the outcome of the coin flip, but a door with a
  109. goat behind it.  Suppose he opens Door Number 2.
  110.  
  111.    P(GPi & Cj & Fk | C1 & D2)
  112.         = P(GPi & Cj & Fk & C1 & D2) / P(C1 & D2)
  113.  
  114. so we just need to compute P(C1 & D2).  Now
  115.  
  116.    GP1 & C1 & F1 => D2
  117.    GP1 & C1 & F2 => D3
  118.    GP1 & C2 & F1 => D3
  119.    GP1 & C2 & F2 => D3
  120.    GP1 & C3 & F1 => D2
  121.    GP1 & C3 & F2 => D2
  122.    GP2 & C1 & F1 => D3
  123.    GP2 & C1 & F2 => D3
  124.    GP2 & C2 & F1 => D1
  125.    GP2 & C2 & F2 => D3
  126.    GP2 & C3 & F1 => D1
  127.    GP2 & C3 & F2 => D1
  128.    GP3 & C1 & F1 => D2
  129.    GP3 & C1 & F2 => D2
  130.    GP3 & C2 & F1 => D1
  131.    GP3 & C2 & F2 => D1
  132.    GP3 & C3 & F1 => D1
  133.    GP3 & C3 & F2 => D2
  134.  
  135. C1 & D2 are true in cases 1, 13, and 14 only, so P(C1 & D2) = 3/18.
  136. Therefore, 
  137.  
  138.    P(GP1 & C1 & F1 | C1 & D2) = (1/18)/(3/18) = 1/3
  139.    P(GP1 & C1 & F2 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  140.    P(GP1 & C2 & F1 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  141.    P(GP1 & C2 & F2 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  142.    P(GP1 & C3 & F1 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  143.    P(GP1 & C3 & F2 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  144.    P(GP2 & C1 & F1 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  145.    P(GP2 & C1 & F2 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  146.    P(GP2 & C2 & F1 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  147.    P(GP2 & C2 & F2 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  148.    P(GP2 & C3 & F1 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  149.    P(GP2 & C3 & F2 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  150.    P(GP3 & C1 & F1 | C1 & D2) = (1/18)/(3/18) = 1/3
  151.    P(GP3 & C1 & F2 | C1 & D2) = (1/18)/(3/18) = 1/3
  152.    P(GP3 & C2 & F1 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  153.    P(GP3 & C2 & F2 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  154.    P(GP3 & C3 & F1 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  155.    P(GP3 & C3 & F2 | C1 & D2) = 0/(3/18)
  156.  
  157. So, should you switch?  There is one chance in three that you have chosen
  158. the grand prize and should not switch; there are two chances in three
  159. that that you have not chosen the grand prize and should switch.
  160. Therefore, you should switch.  The bottom line comes out the same for
  161. the other possibilities -- C1 and D3, C2 and D1, C2 and D3, C3 and D1,
  162. and C3 and D2 -- so, no matter what happens, you should switch.  Q.E.D.
  163.  
  164. The argument that there's no point in switching -- after choosing, you
  165. know the next thing that happens is that Monty will open a door to reveal
  166. a goat, so his doing so provides no reason to switch -- is compelling.
  167. (But I'll be happy to play, say, 10000 rounds of this game against your
  168. friend, with me using the "always switch" strategy, him/her using the
  169. "always stand" strategy, and me making her/his pots 10% larger than
  170. (s)he makes mine, any time, for any stakes (s)he'd care to name!!)
  171.  
  172.                                                         -- rar
  173.  
  174.