home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14661 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-09  |  2.2 KB  |  50 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!caen!zaphod.mps.ohio-state.edu!magnus.acs.ohio-state.edu!wjcastre
  3. From: wjcastre@magnus.acs.ohio-state.edu (W.Jose Castrellon G.)
  4. Subject: Re: Assorted questions and problems
  5. Message-ID: <1992Nov9.224436.10471@magnus.acs.ohio-state.edu>
  6. Sender: news@magnus.acs.ohio-state.edu
  7. Nntp-Posting-Host: bottom.magnus.acs.ohio-state.edu
  8. Organization: The Ohio State University,Math.Dept.(studnt)
  9. References: <1992Nov8.181631.13298@Princeton.EDU> <96778@netnews.upenn.edu> <1992Nov9.191022.12493@Princeton.EDU>
  10. Date: Mon, 9 Nov 1992 22:44:36 GMT
  11. Lines: 37
  12.  
  13. In article <1992Nov9.191022.12493@Princeton.EDU> tao@potato.princeton.edu (Terry Tao) writes:
  14.  
  15. >|> >(3) Assume the axiom of choice and the axiom of the continuum.  Is it
  16. >|> >true that two chains (totally ordered sets) which both have the
  17. >|> >cardinality of the continuum have a one-to-one and onto order
  18. >|> >preserving mapping betweem them?
  19. >|> 
  20. >
  21. >OK, so I screwed up this question.  I have a dozen different counterexamples 
  22. >now of the original question.  I'll rephrase this question into two different
  23. >ones
  24. >
  25. >(3a) if you assume that the chains are unbounded above and below, and are 
  26. >dense, i.e. between any two elements there is a third, is the above now true?
  27. >
  28.  
  29. There is still a counterexample:   (0,1)  and   (0,1)  together with a set
  30. order isomorphic to the rationals, all of whose elements you'll call bigger
  31. than the ones of (0,1). However if you assume that both sets are _superdense_
  32. (I dont know the standard term): i.e. for every pair A, B of countable subsets
  33. if every element of A is strictly smaller than every element of B, then there
  34. is a  x  in between; then in this case by a back-and-forth argument (same as
  35. for showing that all dense unbounded countable orderings are isomorphic to Q) 
  36. it turns out to be true.
  37.  
  38. >(3b) is (3) true if you remove the "onto" criterion, i.e. is there an order 
  39. >imbedding from the first chain to the other?
  40. >
  41.  
  42. Still there is a counterexample: One cannot map the first uncountable ordinal
  43. in an order preserving fashion into the real numbers, one can even get a pair 
  44. of dense sets with no order preserving map of anyone into the other [same 
  45. technique].
  46.  
  47. >Thank you for the large number of responses.
  48. >
  49. >Terry
  50.