home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14646 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-09  |  2.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!uwm.edu!zaphod.mps.ohio-state.edu!darwin.sura.net!jvnc.net!netnews.upenn.edu!sagi.wistar.upenn.edu
  2. From: weemba@sagi.wistar.upenn.edu (Matthew P Wiener)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Assorted questions and problems
  5. Message-ID: <96778@netnews.upenn.edu>
  6. Date: 9 Nov 92 16:14:40 GMT
  7. Article-I.D.: netnews.96778
  8. References: <BxDJ8v.DCw@world.std.com> <1992Nov8.181631.13298@Princeton.EDU>
  9. Sender: news@netnews.upenn.edu
  10. Reply-To: weemba@sagi.wistar.upenn.edu (Matthew P Wiener)
  11. Organization: The Wistar Institute of Anatomy and Biology
  12. Lines: 39
  13. Nntp-Posting-Host: sagi.wistar.upenn.edu
  14. In-reply-to: tao@fine.princeton.edu (Terry Tao)
  15.  
  16. In article <1992Nov8.181631.13298@Princeton.EDU>, tao@fine (Terry Tao) writes:
  17. >I have three questions that I can't do.  I hope you can see from the
  18. >diversity of them that they are not homework.
  19.  
  20. Not just the diversity.  They are on the deep side of things.
  21.  
  22. >(1) what is the current status of the Bieberbach conjecture, that any
  23. >univalent holomorphic function f on the unit disk such that f(0) = 0 and
  24. >f'(0) = 1 satisfies the fact that the taylor expansion f(x) = \sum a_n x^n
  25. >has the property |a_n|  \leq n? The last I heard, it was proved for n up to
  26. >7 only, and also for all n sufficiently large |a_n| \leq 1.08 n.
  27.  
  28. It was proven in the mid-80s, amidst a good deal of confusion and some
  29. controversy.  It's already in book form--see, eg, the AMS symposium.
  30.  
  31. >(2) Suppose X and Y are Banach spaces.  Can one construct a linear mapping
  32. >from X to Y which is NOT continous?e.g. a map from L^2 to L^2 which is not
  33. >bounded.  Is it possible to construct one without AC?
  34.  
  35. L^2 is a Hilbert space even--not a good example.
  36.  
  37. This subject goes under the name of "automatic continuity".  I have no
  38. idea of what happens without AC.  The strongest you can prove in ZFC is
  39. the work of Bade--you can isolate a finite number of bad points.  The
  40. work of Dales and Esterle gave counterexamples under CH.  Woodin and
  41. Solovay showed that CH was necessary.  See the book by Dales and Woodin.
  42.  
  43. >(3) Assume the axiom of choice and the axiom of the continuum.  Is it
  44. >true that two chains (totally ordered sets) which both have the
  45. >cardinality of the continuum have a one-to-one and onto order
  46. >preserving mapping betweem them?
  47.  
  48. Of course not.  It's almost embarrassing to mention the counterexamples,
  49. but here goes: (0,1) and [0,1].  The question you meant to ask, I assume,
  50. was if the orderings were dense.  In that case, a back and forth argument
  51. shows the two are isomorphic.  I'm pretty certain you need CH for this--I
  52. think Shelah has the contrary model.
  53. -- 
  54. -Matthew P Wiener (weemba@sagi.wistar.upenn.edu)
  55.