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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14597 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-11-08  |  2.9 KB
  1. Path: sparky!uunet!think.com!spool.mu.edu!yale.edu!jvnc.net!netnews.upenn.edu!sagi.wistar.upenn.edu
  2. From: weemba@sagi.wistar.upenn.edu (Matthew P Wiener)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Axioms of set theory, infinity and R. Rucker
  5. Message-ID: <96652@netnews.upenn.edu>
  6. Date: 8 Nov 92 15:43:45 GMT
  7. References: <1992Nov6.133138.16642@prl.philips.nl>
  8. Sender: news@netnews.upenn.edu
  9. Reply-To: weemba@sagi.wistar.upenn.edu (Matthew P Wiener)
  10. Organization: The Wistar Institute of Anatomy and Biology
  11. Lines: 46
  12. Nntp-Posting-Host: sagi.wistar.upenn.edu
  13. In-reply-to: schiller@prl.philips.nl (schiller c)
  14.  
  15. In article <1992Nov6.133138.16642@prl.philips.nl>, schiller@prl (schiller c) writes:
  16. >Reading the book "infinity and the mind" by Rudy Rucker
  17. >(by the way, it is delighting),
  18.  
  19. Based on his science fiction, which I have found unreadable in large
  20. doses (too much gee-whiz), I had low expections for IATM.  I'm pleased
  21. to say that I was completely wrong.  It's an excellent book.
  22.  
  23. >Which of these is the infinity specified in the
  24. >axioms of set theory ?
  25.  
  26. The basic ZFC axioms specify only the smallest infinity, aleph_0.
  27. From this, one derives within ZFC aleph_1, aleph_2, ....
  28.  
  29. >                Is it important to decide this
  30. >question ? Does this have any effect on set theory ?
  31.  
  32. However, not only are there higher infinities, there are also what may
  33. be called "stronger" infinities.  These can be thought of as being
  34. unreachable from below under axiomatic expansion.  For example, aleph_0
  35. can not be reached by finite operations done on finite sets.  Similarly,
  36. the stronger cardinals mentioned in IATM cannot be reached from below,
  37. even using infinitary ZFC operations on infinite, yet smaller, sets.
  38.  
  39. What's especially intriguing is that these stronger infinities form,
  40. more or less, a hierarchy of strength.  Near the bottom is something
  41. called an inaccessible cardinal.  Near the middle is something called
  42. a measurable cardinal.  Near the top is something called a supercompact
  43. cardinal.  Letting I, M, S denote the existence axiom for the respective
  44. cardinals, we can form set theories ZFC+I, ZFC+M, ZFC+S.  Then we have
  45. that ZFC+I is stronger than ZFC, in the sense that it is impossible
  46. to prove there are any inaccessible cardinals just using ZFC, and the
  47. same for ZFC+M versus ZFC+I, and for ZFC+S versus ZFC+M.  Yet the reverse
  48. holds in each case.  There is definitely more mathematics that can be
  49. proven in the stronger axiom systems.
  50.  
  51. In fact, this can be made very concrete.  There are, thanks to the work
  52. of Matiyasevich and Jones, all but explicit diophantine equations that
  53. can be proven to have no solution only in a stronger set theory.  It is
  54. remotely conceivable that Fermat's last theorem even is an example of
  55. such a diophantine equation.
  56.  
  57. (Here's a boo in the the general direction of M&J: why not give the
  58. simpler exponential diophantine equations also?)
  59. -- 
  60. -Matthew P Wiener (weemba@sagi.wistar.upenn.edu)
  61.