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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14585 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-08  |  3.1 KB  |  78 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!caen!zaphod.mps.ohio-state.edu!magnus.acs.ohio-state.edu!wjcastre
  3. From: wjcastre@magnus.acs.ohio-state.edu (W.Jose Castrellon G.)
  4. Subject: Re: Axioms of set theory, infinity and R. Rucker
  5. Message-ID: <1992Nov8.023839.16479@magnus.acs.ohio-state.edu>
  6. Sender: news@magnus.acs.ohio-state.edu
  7. Nntp-Posting-Host: top.magnus.acs.ohio-state.edu
  8. Organization: The Ohio State University,Math.Dept.(studnt)
  9. References: <1992Nov6.133138.16642@prl.philips.nl> <1992Nov6.182447.25955@infodev.cam.ac.uk> <1992Nov7.001459.7644@magnus.acs.ohio-state.edu>
  10. Date: Sun, 8 Nov 1992 02:38:39 GMT
  11. Lines: 65
  12.  
  13. In article <1992Nov7.001459.7644@magnus.acs.ohio-state.edu> I write:
  14.  
  15. [...]
  16. >Actually without using the Axiom of Choice, it is possible to prove the exis-
  17. >tence of the set of natural numbers, from the other axioms of set theory with
  18. >"There is an infinite set" in place of the Axiom of Infinity.
  19. >
  20.  
  21. Herman Rubin has posted a proof of this, involving Hartog's function.
  22.  
  23. I have received a few requests to clarify what definition of _infinite_
  24. I had in mind for the statement "There is an infinite set". Well, one
  25. can think of Dedekind's: A set is infinite if there is a function from
  26. it into itself that is injective but not onto; however it turns out 
  27. that all definitions of _infinite_ will work as well, if one makes a
  28. small assumption on the property of being _infinite_.
  29.  
  30. [some blank lines, in case you want to think about it]
  31.  
  32.  
  33.  
  34.  
  35.  
  36.  
  37.  
  38.  
  39.  
  40.  
  41.  
  42.  
  43.  
  44.  
  45.  
  46.  
  47.  
  48.  
  49.  
  50.  
  51.  
  52. A reasonable request is that if  X is _infinite_ then it remains so when we
  53. remove one of its elements.  [and that the empty set not be infinite...]
  54. So let  I(X)  _X is infinite_  a formula that satisfies:
  55. For all X and all y in X,  I(X) --> I (X\{y})
  56. Then one would like to show that the existence of a set satisfying I(X),
  57. implies the existence of the set of natural numbers (set of all the 
  58. ordinals strictly smaller than any non-zero limit ordinal, or equivalently 
  59. the smallest set containing 0 and the succesor of each of its elements).
  60. For this, take the range of the Hartogs function, restricted to the
  61. ordinals smaller than all limits (intuitively this is the set of finite 
  62. ordinals that can be mapped injectively into X), and claim that this set H
  63. is the set of natural numbers (and some more to help in the proof).
  64. Claim: If  t  is an ordinal strictly smaller than all limits then  t  
  65.        belongs to  S  (i.e. there is an injective  f: t --> X), and 
  66.        I(X\f(t))  (i.e. the complement of the range of  f  is _infinite_) 
  67. Suppose not, then take the least  r  for which it is false. Then since  r
  68. is not a limit, the claim is true for  the ordinal  r-1:
  69. so there is an injective  g: r-1 --> X  and  I(X\g(r-1)). By the property
  70. of the formula  I, one can remove an element  z  of  X\g(r-1) and still have
  71. I( (X\g(r-1)) \ z ). This is enough to get a contradiction, since one can
  72. extend  g  to  an  f: r --> X  by sending the new element to  z, and have
  73. that the claim in fact did hold for  r , contrary to the assumption that
  74. r  was a counterexample.
  75.  
  76. By the way, I think the proposer's original problem is very interesting, and
  77. giving a correct solution is not simple at all.
  78.