home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14567 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-08  |  1.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!magnus.acs.ohio-state.edu!usenet.ins.cwru.edu!agate!doc.ic.ac.uk!uknet!pavo.csi.cam.ac.uk!gjm11
  2. From: gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Axioms of set theory, infinity and R. Rucker
  5. Message-ID: <1992Nov7.171917.3177@infodev.cam.ac.uk>
  6. Date: 7 Nov 92 17:19:17 GMT
  7. References: <1992Nov6.133138.16642@prl.philips.nl> <1992Nov6.182447.25955@infodev.cam.ac.uk> <BxBpwq.LFM@mentor.cc.purdue.edu>
  8. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  9. Organization: U of Cambridge, England
  10. Lines: 23
  11. Nntp-Posting-Host: apus.cus.cam.ac.uk
  12.  
  13. In article <BxBpwq.LFM@mentor.cc.purdue.edu> hrubin@mentor.cc.purdue.edu (Herman Rubin) writes:
  14.  
  15. >However, one does not need the axiom of choice.  The ordinal numbers, defined
  16. >as in Godel, for example, do not need that axiom for the definition.  Then
  17. >for any set x, the Hartogs function of x, which is the set of all ordinal
  18. >numbers of size smaller than or equal to x, is an ordinal number not of such
  19. >a size.  This must contain the natural numbers if x is not a finite set, so
  20. >any kind of infinite set is adequate.
  21.  
  22. Oh yes. Thanks; I was a little worried about saying that you couldn't always
  23. find a countable set with "there exists an infinite set" and no AC, but I
  24. couldn't see a way to get one. I'd forgotten Hartogs' theorem completely.
  25.  
  26. >It is not possible to have a smaller infinite set than the natural numbers,
  27. >but it is possible to have infinite sets of a size incomparable to that of
  28. >the natural numbers.
  29.  
  30. Yes, I know. I didn't want to be overcomplicated in answering a simple
  31. question like this one, though.
  32.  
  33. -- 
  34. Gareth McCaughan     Dept. of Pure Mathematics & Mathematical Statistics,
  35. gjm11@cus.cam.ac.uk  Cambridge University, England.    [Research student]
  36.