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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14553 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-08  |  2.6 KB  |  56 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!decwrl!purdue!mentor.cc.purdue.edu!hrubin
  3. From: hrubin@mentor.cc.purdue.edu (Herman Rubin)
  4. Subject: Re: Axioms of set theory, infinity and R. Rucker
  5. Message-ID: <BxBpwq.LFM@mentor.cc.purdue.edu>
  6. Organization: Purdue University Statistics Department
  7. References: <1992Nov6.133138.16642@prl.philips.nl> <1992Nov6.182447.25955@infodev.cam.ac.uk>
  8. Date: Sat, 7 Nov 1992 02:07:37 GMT
  9. Lines: 45
  10.  
  11. In article <1992Nov6.182447.25955@infodev.cam.ac.uk> gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan) writes:
  12. >In article <1992Nov6.133138.16642@prl.philips.nl> schiller@prl.philips.nl (schiller c) writes:
  13.  
  14.  
  15. >>In the definition of a set, one axiom is the existence
  16. >>of infinity. It is one of the usual Zermelo-Fraenkel
  17. >>axioms.
  18.  
  19. >>Reading the book "infinity and the mind" by Rudy Rucker
  20. >>(by the way, it is delighting), one learns that
  21. >>there are many different types of infinities which
  22. >>exist, of different "size". 
  23.  
  24. >>Which of these is the infinity specified in the
  25. >>axioms of set theory ? Is it important to decide this
  26. >>question ? Does this have any effect on set theory ?
  27.  
  28. >The usual axiom of infinity guarantees a countably infinite set; that is,
  29. >one the same size as the set of natural numbers.
  30.  
  31. >With the axiom of choice, every infinite set contains a countable set, so
  32. >an axiom saying "There is an infinite set" without being so specific about
  33. >just what sort of infinite set there was would be OK. Without the axiom of
  34. >choice, there is a difference; and it is useful to have a guarantee that
  35. >there is a set that can function as a set of natural numbers, for instance.
  36.  
  37. >With the axiom of choice, the natural numbers are as small as an infinite
  38. >set can be. Without it, that's still almost true but it's not always possible
  39. >to compare the sizes of infinite sets.
  40.  
  41. However, one does not need the axiom of choice.  The ordinal numbers, defined
  42. as in Godel, for example, do not need that axiom for the definition.  Then
  43. for any set x, the Hartogs function of x, which is the set of all ordinal
  44. numbers of size smaller than or equal to x, is an ordinal number not of such
  45. a size.  This must contain the natural numbers if x is not a finite set, so
  46. any kind of infinite set is adequate.
  47.  
  48. It is not possible to have a smaller infinite set than the natural numbers,
  49. but it is possible to have infinite sets of a size incomparable to that of
  50. the natural numbers.
  51. -- 
  52. Herman Rubin, Dept. of Statistics, Purdue Univ., West Lafayette IN47907-1399
  53. Phone: (317)494-6054
  54. hrubin@snap.stat.purdue.edu (Internet, bitnet)  
  55. {purdue,pur-ee}!snap.stat!hrubin(UUCP)
  56.