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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14533 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-08  |  1.9 KB  |  47 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!ames!agate!doc.ic.ac.uk!mrccrc!warwick!pavo.csi.cam.ac.uk!gjm11
  3. From: gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan)
  4. Subject: Re: Axioms of set theory, infinity and R. Rucker
  5. Message-ID: <1992Nov6.182447.25955@infodev.cam.ac.uk>
  6. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  7. Nntp-Posting-Host: bootes.cus.cam.ac.uk
  8. Organization: U of Cambridge, England
  9. References: <1992Nov6.133138.16642@prl.philips.nl>
  10. Date: Fri, 6 Nov 1992 18:24:47 GMT
  11. Lines: 34
  12.  
  13. In article <1992Nov6.133138.16642@prl.philips.nl> schiller@prl.philips.nl (schiller c) writes:
  14. >
  15. >
  16. >In the definition of a set, one axiom is the existence
  17. >of infinity. It is one of the usual Zermelo-Fraenkel
  18. >axioms.
  19. >
  20. >Reading the book "infinity and the mind" by Rudy Rucker
  21. >(by the way, it is delighting), one learns that
  22. >there are many different types of infinities which
  23. >exist, of different "size". 
  24. >
  25. >Which of these is the infinity specified in the
  26. >axioms of set theory ? Is it important to decide this
  27. >question ? Does this have any effect on set theory ?
  28.  
  29. The usual axiom of infinity guarantees a countably infinite set; that is,
  30. one the same size as the set of natural numbers.
  31.  
  32. With the axiom of choice, every infinite set contains a countable set, so
  33. an axiom saying "There is an infinite set" without being so specific about
  34. just what sort of infinite set there was would be OK. Without the axiom of
  35. choice, there is a difference; and it is useful to have a guarantee that
  36. there is a set that can function as a set of natural numbers, for instance.
  37.  
  38. With the axiom of choice, the natural numbers are as small as an infinite
  39. set can be. Without it, that's still almost true but it's not always possible
  40. to compare the sizes of infinite sets.
  41.  
  42. I hope this helps.
  43.  
  44. -- 
  45. Gareth McCaughan     Dept. of Pure Mathematics & Mathematical Statistics,
  46. gjm11@cus.cam.ac.uk  Cambridge University, England.    [Research student]
  47.