home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14522 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-08  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!think.com!ames!agate!doc.ic.ac.uk!sot-ecs!dbc
  2. From: dbc@ecs.soton.ac.uk (Bryan Carpenter)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: DERIVATIVE OF X^X
  5. Message-ID: <13421@ecs.soton.ac.uk>
  6. Date: 6 Nov 92 18:55:25 GMT
  7. References: <1992Nov4.200746.11729@aio.jsc.nasa.gov> <1992Nov5.004445.21327@infodev.cam.ac.uk>
  8. Sender: news@ecs.soton.ac.uk
  9. Lines: 57
  10. Nntp-Posting-Host: louis
  11.  
  12. In <1992Nov5.004445.21327@infodev.cam.ac.uk> gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan) writes:
  13.  
  14. >Do we really have to do this from first principles, as your post suggests?
  15. >If not:
  16.  
  17. >f(x) = x^x = exp(x log x)
  18. >so by the chain rule
  19. >f'(x) = d/dx(x log x).exp(x log x)
  20. >      = (log x + 1) exp(x log x)
  21. >      = x^x + x^x.log x
  22.  
  23. >But I suppose you want it done in gruesome detail, by hand, from first
  24. >principles. Well, here goes. In what follows, "O(h^2)" denotes stuff
  25. >which is bounded above by some constant times h^2, as h->0.
  26.  
  27. >f(x+h) = (x+h)^(x+h)
  28. >       = x^(x+h)(1+h/x)^(x+h)
  29. >       = x^(x+h)(1+(x+h).(h/x)+O(h^2)) by the binomial theorem, if |h|<|x|
  30. >       = x^(x+h)(1+h+O(h^2)) = x^(x+h)(1+h) + O(h^2)
  31. >       = x^x.x^h.(1+h) + O(h^2).
  32.  
  33. >So, f'(x) = limit as h->0 of [f(x+h)-f(x)]/h
  34. >          = limit of [x^x.x^h.(1+h) - x^x]/h
  35. >          = limit of x^x((x^h-1)/h + x^h)
  36. >          = x^x.(limit of (x^h-1)/h + limit of x^h)
  37. >          = x^x.(limit of (x^h-1)/h + 1)
  38.  
  39. >so we are reduced to finding the limit, as h->0, of (x^h-1)/h.
  40. >From the chain-rule stuff above we know it's got to be log x;
  41. >and if it weren't for the requirement to do everything from first
  42. >principles this would also be an easy exercise in the chain rule.
  43. >I'm not at all sure, though, how we can do it from first principles.
  44.  
  45. I think ``first principles'' ought to allow you to take
  46.  
  47.       Lim     (1 + y/n)^n
  48.     n -> inf
  49.  
  50. as the definition of e^y.  So, if y = log x and n is infinitely large
  51. (if you know what I mean),
  52.  
  53.     x = (1 + y/n)^n
  54.  
  55. so
  56.  
  57.     y = n (x^(1/n) - 1)
  58.  
  59. and you can put h = 1/n (so to speak).  It gets the right answer, anyway.
  60.  
  61. >...
  62.  
  63. >-- 
  64. >Gareth McCaughan     Dept. of Pure Mathematics & Mathematical Statistics,
  65. >gjm11@cus.cam.ac.uk  Cambridge University, England.    [Research student]
  66.  
  67. Bryan
  68.  
  69.