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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14520 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-08  |  3.0 KB  |  73 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!sgiblab!zaphod.mps.ohio-state.edu!sol.ctr.columbia.edu!news.columbia.edu!psinntp!psinntp!scylla!daryl
  3. From: daryl@oracorp.com (Daryl McCullough)
  4. Subject: Re: Games with Nonmeasurable Sets
  5. Message-ID: <1992Nov5.045644.21270@oracorp.com>
  6. Organization: ORA Corporation
  7. Date: Thu, 5 Nov 1992 04:56:44 GMT
  8. Lines: 63
  9.  
  10. pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  11.  
  12. >Now where did this depend on the cardinality of the well-ordered deck?
  13. >The *only* relevant fact, an elementary measure theoretic one, is that
  14. >only countably many cards can be assigned a nonzero probability.
  15. >(Proof:  every such card is in the finite set of cards assigned
  16. >probability at least 1/n for some postive integer n, and there are only
  17. >countably many such sets.)
  18.  
  19. Vaughan, I think you have completely missed the point of the original
  20. posting. Let me repeat the key points:
  21.  
  22.     1. There is one card for every real between 0 and 1.
  23.     2. Cards are dealt randomly according to the usual Lebesgue
  24.        measure on reals.
  25.  
  26. So the probability of being dealt any particular card is precisely 0.
  27. However, for any particular real r, the probability of being dealt
  28. a card greater than r in the ordering LT is the Lebesgue measure of
  29. the set
  30.  
  31.     { r' | LT(r,r') }
  32.  
  33. Since this is the complement of a countable set, it has Lebesgue measure
  34. 1.
  35.  
  36. >The resolution of the paradox is that whatever the distribution of a
  37. >player's cards, once her opponent knows it, her estimated likelihood of
  38. >winning becomes realistic.  This is true not just for the countable
  39. >deck, as you imply, but for all decks, including Daryl's.
  40.  
  41. In the case of the uncountable game, the distribution is known ahead
  42. of time. The paradox *follows* from facts about the Lebesgue measure.
  43.  
  44. >The one thing I will concede is that the paradox is harder to see
  45. >through when you state it for a higher cardinal.
  46.  
  47. >But this was my point in the beginning.  The right approach is to ask
  48. >why there is no paradox at lower cardinals (answer: look at the
  49. >probability distribution), and then increase the size of the deck to
  50. >see if anything changes: no it doesn't.  The measure disappeared back
  51. >when the set was well-ordered, so continuing to refer to it is merely
  52. >a red herring (again, my point).
  53.  
  54. A completely mistaken point, I'm afraid.
  55.  
  56. >I don't think this contradicts anything anyone else has said; in
  57. >particular I think it is completely consistent with Herman Rubin's
  58. >answer, even if it looks superficially different.  It merely proposes a
  59. >different line of attack on the paradox: ask what role the large
  60. >cardinal is playing, and attack that question by asking for the
  61. >smallest cardinal for which the paradox works.
  62.  
  63. It works for uncountable cardinals, but not countable ones. I think
  64. the reason is that measures are countably additive, so there is no way
  65. to give probabilities on the naturals so that for all n, the measure
  66. of the set of m such that m < n is always 0.
  67.  
  68. Daryl McCullough
  69. ORA Corp.
  70. Ithaca, NY
  71.  
  72.  
  73.