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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14506 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-07  |  1.9 KB
  1. Path: sparky!uunet!stanford.edu!ames!think.com!news!columbus
  2. From: columbus@strident.think.com (Michael Weiss)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: What's a knot? (inspired by "What's a manifold?")
  5. Date: 6 Nov 92 10:52:42
  6. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  7. Lines: 35
  8. Distribution: sci
  9. Message-ID: <COLUMBUS.92Nov6105242@strident.think.com>
  10. NNTP-Posting-Host: strident.think.com
  11.  
  12. I would summarize almost all the discussion in favor of the atlas
  13. definition of a manifold in one phrase:
  14.  
  15.     proofs drive definitions
  16.  
  17. in other words, old, "intuitive" definitions are replaced by new "abstract"
  18. definitions when the new definitions turn out to be more convenient for the
  19. logical development of the subject.  If you require your manifolds to be
  20. imbedded in R^n, then you have to come up with an imbedding every time you
  21. construct a manifold, and this is often (to quote John Baez), "a pain in
  22. the butt".
  23.  
  24. A second theme was the invariant aspect of the (maximal) atlas definition.
  25. One wants to regard two manifolds as "the same" if they have the same
  26. topological (or smooth, or conformal, or piecewise liner, or whatever)
  27. structure, so with an "imbedded" definition, you need to mod out by the
  28. equivalence relation.
  29.  
  30. This suggests that whenever we have a definition of the form
  31.  
  32.     "widgets are equivalence classes of wadgets under the boff
  33.         equivalence relation"
  34.  
  35. we should look for a definition of a widget that doesn't mention wadgets or
  36. boff.  If this involves generalizing the notion of a widget, fine-- "be
  37. wise, generalize" as I am told Zorn used to say.  If not, we have a
  38. representation theorem.
  39.  
  40. How would one define a (tame) knot, intrinsically?  Definitions I am
  41. familiar with either involve modding out by ambient isotopy (in fact there
  42. are subtle points here, I believe-- perhaps someone more knowledgeable
  43. would like to post), or by Reidemeister moves.
  44.  
  45. Is the field just too young to have a suitably slick and (on first
  46. encounter) unintuitive definition?
  47.