home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14485 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-07  |  1.7 KB  |  36 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!decwrl!sdd.hp.com!zaphod.mps.ohio-state.edu!cs.utexas.edu!news.uta.edu!hermes.chpc.utexas.edu!news.utdallas.edu!corpgate!bnrgate!bnr.co.uk!pipex!warwick!pavo.csi.cam.ac.uk!camcus!gjm11
  3. From: gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan)
  4. Subject: Re: definition of topological space
  5. Message-ID: <1992Nov6.035352.26163@infodev.cam.ac.uk>
  6. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  7. Nntp-Posting-Host: apus.cus.cam.ac.uk
  8. Organization: U of Cambridge, England
  9. References: <1992Nov5.033835.5180@leland.Stanford.EDU> <1992Nov5.203738.840@athena.mit.edu>
  10. Date: Fri, 6 Nov 1992 03:53:52 GMT
  11. Lines: 23
  12.  
  13. Here is another axiomatic definition of "topological space", which is
  14. probably more intuitive than the usual one in terms of open sets.
  15.  
  16. A topological space is a set X of "points", together with (for each point)
  17. a class of subsets of X, called "neighbourhoods" of the point, such that:
  18.  
  19. 1. If N is a nbhd of x then x is in N.
  20. 2. The intersection of two nbhds of x is a nbhd of x.
  21. 3. Anything containing a nbhd of x is a nbhd of x.
  22.  
  23. The idea is that N is a neighbourhood of x if it contains all points "close
  24. enough" to x. For instance, the plane (R^2) is a topological space; say that
  25. a set is a neighbourhood of x if it contains some disc centred on x, and the
  26. axioms are easily verified.
  27.  
  28. This definition is equivalent to the one in terms of open sets. N is a nbhd
  29. of x iff it contains some open set containing x; on the other hand, U is open
  30. iff it is a nbhd of all its points. (This last is quite a good way of thinking
  31. about just what an open set is.)
  32.  
  33. -- 
  34. Gareth McCaughan     Dept. of Pure Mathematics & Mathematical Statistics,
  35. gjm11@cus.cam.ac.uk  Cambridge University, England.    [Research student]
  36.