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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14411 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-04  |  2.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!pipex!warwick!uknet!pavo.csi.cam.ac.uk!emu.pmms.cam.ac.uk!rgep
  2. From: rgep@emu.pmms.cam.ac.uk (Richard Pinch)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: definition of topological space
  5. Keywords: Topology; Open sets; Continuity
  6. Message-ID: <1992Nov5.094404.15550@infodev.cam.ac.uk>
  7. Date: 5 Nov 92 09:44:04 GMT
  8. References: <1992Nov5.033835.5180@leland.Stanford.EDU>
  9. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  10. Organization: Department of Pure Mathematics, University of Cambridge
  11. Lines: 43
  12. Nntp-Posting-Host: emu.pmms.cam.ac.uk
  13.  
  14. In article <1992Nov5.033835.5180@leland.Stanford.EDU> 
  15. ledwards@leland.Stanford.EDU (Laurence James Edwards) writes:
  16. >The definition of a topological space is:
  17. >
  18. >    :a set with a collection of subsets satisfying the conditions that 
  19. >    both the empty set and the set itself belong to the collection, the 
  20. >    union of any number of the subsets is also an element of the collection, 
  21. >    and the intersection of a finite number of the subsets is an element 
  22. >    of the collection
  23. >
  24. >What is the purpose of this definition? To the naive reader (such as myself)
  25. >it would seem that just about any set along with one of its subsets and the
  26. >empty set would be a topological space, e.g. it would semm to me that:
  27. >
  28. >{1,2,3} {} {1}
  29. >
  30. >is a topological space. What am I missing here? In one math dictionary
  31. >it is stated that this definition allows one to establish the notion of
  32. >continuity as it applies to functions between topological spaces ...
  33. >I don't see how. Can anyone clue me in?
  34. >
  35. Well, here goes.  The sets in the family are called "open" and you should
  36. think of them as being rather like the open intervals in the real line.
  37. A subset of R is open iff it is the union of a collection of open intervals
  38. (a,b); equivalently if it contains an open interval round any of its points.
  39.  
  40. The epsilon-delta definition of continuity says that f is continuous iff
  41. for all x, for all e > 0, there exists d > 0 such that 
  42.      |x-x'| < e => |f(x) - f(x')| < d
  43. i.e.
  44. for all x, for all e > 0, there exists d > 0 such that
  45.      f*(f(x)-d, f(x)+d) contains (x-e,x+e)
  46. where f*(Y) is the set of x such that f(c) is in Y.
  47. i.e.
  48. Y open => f*(Y) open
  49.  
  50.  and this last is the topological definition of continuity.
  51.  
  52. Incidentally, {1,2,3} {} {1} is a perfectly good family of open sets
  53. for a topology on {1,2,3}: but it has nothing to do with epsilons and
  54. deltas.
  55.  
  56. Richard Pinch
  57.