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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / logic / 1981 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-09  |  2.9 KB  |  64 lines
  1. Newsgroups: sci.logic
  2. Path: sparky!uunet!noc.near.net!nic.umass.edu!news.mtholyoke.edu!news.byu.edu!ux1!mica.inel.gov!guinness!garnet.idbsu.edu!holmes
  3. From: holmes@garnet.idbsu.edu (Randall Holmes)
  4. Subject: Re: Russell's Paradox
  5. Message-ID: <1992Nov10.001234.18488@guinness.idbsu.edu>
  6. Sender: usenet@guinness.idbsu.edu (Usenet News mail)
  7. Nntp-Posting-Host: garnet
  8. Organization: Boise State University
  9. References: <25916@optima.cs.arizona.edu> <1992Nov09.172532.43648@Cookie.secapl.com>
  10. Date: Tue, 10 Nov 1992 00:12:34 GMT
  11. Lines: 51
  12.  
  13. In article <1992Nov09.172532.43648@Cookie.secapl.com> frank@Cookie.secapl.com (Frank Adams) writes:
  14. >In article <25916@optima.cs.arizona.edu> gudeman@cs.arizona.edu (David Gudeman) writes:
  15. >>No, I am not complaining about elementhood being a proposition, I am
  16. >>complaining about a syntactic circularity begin treated as though it
  17. >>had semantic significance.  Neither am I concerned about the
  18. >>unrestricted range of the quantification.  As the set {x : x = x}
  19. >>clearly shows, there is no inconsistency inherent in either
  20. >>self-membership or impredicativity.  I claim that {x : x = x} is a
  21. >>perfectly reasonable set and that the mere fact that ZF proves the
  22. >>opposite is enough to show that ZF is not an adequate axiomatization
  23. >>of set theory.
  24. >
  25. >All right; but what would you put in it's place?  I'm not willing to call
  26. >something "set theory" unless it has *some* recognizable form of the axiom
  27. >of comprehension.  Can you formalize your ideas?
  28.  
  29. i.  Russell's paradox does have _semantic_ consequences.  Whatever
  30. membership is, there is no set of all sets that are not members of
  31. themselves.  Certainly the mechanics of applying the paradox are
  32. syntactical -- so what?
  33.  
  34. ii.  NFU:
  35.  
  36.     Axiom 1.  Objects with elements that have the same elements
  37.     are equal.  (this allows multiple objects with no elements).
  38.  
  39.     Axiom 2.  Stratified comprehension (any instance of
  40. comprehension which would make sense in the simple theory of types
  41. under some assignment of types to its variables holds -- further
  42. details available on request).
  43.  
  44.     Axiom 3.  The universe is infinite.
  45.  
  46.     Axiom 4.  The universe can be well-ordered (choice).
  47.  
  48.     This is a set theory with the same consistency strength as
  49. Russell's theory of types; it is untyped (a set definition makes sense
  50. if it would make sense in the theory of types, but objects in this
  51. theory are not typed).  {x|x=x}, the universe, exists (the definition
  52. would make sense in TT); {x|~x E x}, the Russell class does not exist
  53. (the definition would not make sense in TT -- if the first x had type
  54. n, the second would have type n+1).
  55.  
  56.     This theory is known to be consistent (R. B. Jensen, On the
  57. consistency of a slight (?) variation of Quine's New Foundations,
  58. Synthese, vol. 19), and adequate for most mathematical purposes.  It
  59. -- 
  60. The opinions expressed        |     --Sincerely,
  61. above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  62. opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  63. or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  64.