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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / logic / 1928 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-05  |  2.8 KB
  1. Path: sparky!uunet!think.com!spdcc!das-news.harvard.edu!husc-news.harvard.edu!husc10.harvard.edu!zeleny
  2. Newsgroups: sci.logic
  3. Subject: Re: Impredicativity - was: Russell's Paradox.
  4. Message-ID: <1992Nov5.121923.17137@husc3.harvard.edu>
  5. From: zeleny@husc10.harvard.edu (Michael Zeleny)
  6. Date: 5 Nov 92 12:19:21 EST
  7. References: <1992Nov3.041515.27732@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> 
  8.  <1992Nov3.162547.25630@guinness.idbsu.edu> <1992Nov3.201225.9524@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  9. Organization: The Phallogocentric Cabal
  10. Nntp-Posting-Host: husc10.harvard.edu
  11. Lines: 59
  12.  
  13. In article <1992Nov3.201225.9524@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> 
  14. pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  15.  
  16. >In article <1992Nov3.162547.25630@guinness.idbsu.edu>
  17. >holmes@garnet.idbsu.edu (Randall Holmes) writes:
  18.  
  19. >>In article <1992Nov3.041515.27732@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  20. >>pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  21.  
  22. VP:
  23. >>>The iterative hierarchy is consistent with Z but not with ZF.
  24. >>>Replacement (F) says in effect that any construction you can iterate
  25. >>>yields a set.  Hence if the universe is an iterative hierarchy it is a
  26. >>>set.
  27.  
  28. RH:
  29. >>Same remark as before (this is ludicrous) + the obvious remark that
  30. >>set-theorists will be awfully surprised by this pronouncement, since
  31. >>they use the iterative hierarchy all the time (iterated power sets of
  32. >>the empty set indexed by the ordinals, taking unions at limit
  33. >>ordinals, which exhaust the universe in ZF -- the iterative hierarchy
  34. >>is not only consistent with ZF, it is established by a THEOREM of ZF!)
  35.  
  36. VP:
  37. >What exactly do you mean by "ZF can establish the iterative
  38. >hierarchy"?  Do you mean that it can establish the *existence* of the
  39. >hierarchy?  Why wouldn't that be equivalent to asserting the
  40. >consistency of ZF within itself?
  41.  
  42. ZF proves that every set has a rank.
  43.  
  44. VP:
  45. >Or do you mean that in ZF one can prove that every set can be built up
  46. >iteratively?  Assuming the Foundation Axiom I have no quarrel with the
  47. >latter, but then you just have a statement about individual sets being
  48. >built up iteratively, not about their collectively forming a
  49. >hierarchy.
  50.  
  51. Obviously, you cannot refer to the totality of sets in ZF.  Try
  52. thinking charitably, -- it will aid your comprehension.
  53.  
  54. VP:
  55. >I'm probably just being my usual dense self, but I just can't figure
  56. >out how to talk about the hierarchy itself within ZF.  What is the
  57. >trick?  And what is a more precise wording of the theorem you refer to
  58. >above?
  59.  
  60. You can talk about the hierarchy, -- without referring to it as a
  61. completed totality, -- by axiomatizing the notion of rank.  See Dana
  62. Scott's paper "Axiomatizing Set Theory" in the 1974-5 AMS colloquium,
  63. and Michael Potter's elementary book _Set Theory_, based on Scott's
  64. axiomatization.
  65.  
  66. >-- 
  67. >Vaughan Pratt            Ain't no truth in logic, son.
  68.  
  69. cordially,
  70. mikhail zeleny@husc.harvard.edu
  71. " -- I shall speak bluntly, because life is short."
  72.