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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / logic / 1921 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-04  |  4.8 KB  |  111 lines

  1. Newsgroups: sci.logic
  2. Path: sparky!uunet!pmafire!mica.inel.gov!guinness!garnet.idbsu.edu!holmes
  3. From: holmes@garnet.idbsu.edu (Randall Holmes)
  4. Subject: Re: Impredicativity - was: Russell's Paradox
  5. Message-ID: <1992Nov5.164251.29649@guinness.idbsu.edu>
  6. Sender: usenet@guinness.idbsu.edu (Usenet News mail)
  7. Nntp-Posting-Host: garnet
  8. Organization: Boise State University
  9. References: <Bx693z.H37@cantua.canterbury.ac.nz> <1992Nov4.073717.22625@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  10. Date: Thu, 5 Nov 1992 16:42:51 GMT
  11. Lines: 98
  12.  
  13. In article <1992Nov4.073717.22625@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  14. >In article <Bx693z.H37@cantua.canterbury.ac.nz> wft@math.canterbury.ac.nz (Bill Taylor) writes:
  15. >>Indeed, ZF intrinsically suggests it
  16. >>*without* the bother of a foundation axiom, by limiting the set formation
  17. >>possibilities so that self-membership is at least not immediately achieved
  18. >
  19. >What is the reasoning here?  That a theory T "intrinsically suggests"
  20. >not-P for any P not in T?  If neither P nor not-P are in T, which of
  21. >not-P or not-not-P (= P) does T "intrinsically suggest?"
  22. >
  23. >>The slick form of AF, that every nonempty set has a member disjoint from it,
  24. >
  25. >Where is this form given?  And why doesn't it rule out Omega = {Omega}?
  26. >(Just asking, I'm not expert on this stuff.)
  27.  
  28. Thomas Jech, _Set Theory_, first page.  It does rule out Omega =
  29. {Omega}; it is a form of the axiom of foundation (AF, not AFA).
  30.  
  31. >
  32. >>But I'm open on well-foundedness: for all I know, there may well be sets like
  33. >>A = { 1 , { 2 , { 3 , { 4 , {.....}}}}} . Such a set seems very well defined on
  34. >>the face of it, so it *could* exist, for all I know. No self-membership there.
  35. >>
  36. >>REQUEST: If someone can produce a way of getting a self-membered set from the
  37. >>set A above, using the other ZF constructions, I would *love* to see it !!!!
  38. >
  39. >If you are comfortable with A, you should not mind
  40. >B = { 1 , { 1 , { 1 , { 1 , {.....}}}}} .
  41. >
  42. >But by AFA, B = {1, B}, making B a member of itself.
  43.  
  44. This uses a very strong extensionality property which follows from
  45. AFA; there is no reason why there cannot be a sequence of distinct
  46. sets xi such that xi = {1,x[i+1]} in ZFC without Foundation.  Of
  47. course, this makes the symbol above ambiguous (the original expression
  48. with 1,2,3,4... also fails to specify a unique set in ZFC- -- there
  49. could be many such sets).
  50.  
  51. >
  52. >As soon as you weaken FA to AFA, the possibility of self-membership
  53. >arises.
  54.  
  55. You do not "weaken" FA to AFA; ZFC- + FA and ZFC- + AFA are both
  56. stronger than ZFC-, but neither is stronger than the other.
  57.  
  58. >
  59. >>That is another reason I went to the trouble of posting my first article; it
  60. >>seems to me to make a very clear criterion for locating the essential
  61. >>impredicativity of Russell, which shows up most clearly in the *set* form:
  62. >>                 { x | P(x) }  ,
  63. >>the essential impredicativity comes from the bad range of x, not the form of P.
  64. >>
  65. >>Doesn't *anyone* else think so ?   :-(
  66. >
  67. >I do.  But I forgot to say in my earlier message that the main point of
  68. >my positive reformulation of Russell's paradox was to remove this
  69. >impredicativity from the argument.  Witness Y was constructed as the
  70. >set of all *elements of X* not members of themselves.  This established
  71. >a positive result without any impredicativity.  Russell's theorem is
  72. >not so much a corollary of this theorem as an interpretation of it, in
  73. >that "there is no set of all sets" formalizes as "every set is
  74. >nonuniversal", or "every set has a nonmember".
  75. >
  76. >>That's partly why I don't think that Aczel's
  77. >>set theory is really basic, delightful though it is. It can't look like
  78. >>fundamental set theory if a convincing show of consistency has to route
  79. >>through ZF's consistency.
  80.  
  81. It doesn't; its consistency can be proven in ZFC- (or ZF-) (just like
  82. that of full ZFC).  Foundation or the lack thereof has nothing to do
  83. with consistency strength.
  84.  
  85. >
  86. >ZF+FA is even stronger than ZF+AFA.  So by that reasoning ZF+FA can't
  87. >look like like a fundamental set theory either.  Yet you seem to prefer
  88. >ZF+FA to ZF+AFA.
  89.  
  90. No, it isn't.  They have exactly the same strength (and both describe
  91. hierarchically structured universes).
  92.  
  93. >
  94. >>I hope you are taking your own rubbishing
  95. >>(concerning Z vs ZF) like a man !  It's a tough life on the net !
  96. >
  97. >Being mistaken at the top of your voice does have its drawbacks.
  98. >Yesterday definitely wasn't my day, I got something really wrong on
  99. >sci.math involving measure theory, much more wrong than Z vs. ZF, which
  100. >I maintain is a highly debatable matter, the near-universal acceptance
  101. >of the cumulative hierarchy as a model of ZF notwithstanding.
  102. >-- 
  103. >Vaughan Pratt                There's no truth in logic, son.
  104.  
  105.  
  106. -- 
  107. The opinions expressed        |     --Sincerely,
  108. above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  109. opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  110. or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  111.