home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / logic / 1911 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-04  |  1.8 KB
  1. Path: sparky!uunet!olivea!spool.mu.edu!yale.edu!ira.uka.de!math.fu-berlin.de!news.netmbx.de!Germany.EU.net!mcsun!sunic!sics.se!torkel
  2. From: torkel@sics.se (Torkel Franzen)
  3. Newsgroups: sci.logic
  4. Subject: Re: Impredicativity - was: Russell's Paradox
  5. Message-ID: <TORKEL.92Nov5103134@isis.sics.se>
  6. Date: 5 Nov 92 09:31:34 GMT
  7. References: <Bx81Ho.9HL@cantua.canterbury.ac.nz>
  8. Sender: news@sics.se
  9. Organization: Swedish Institute of Computer Science, Kista
  10. Lines: 24
  11. In-Reply-To: wft@math.canterbury.ac.nz's message of Thu, 5 Nov 1992 02:27:23 GMT
  12.  
  13. In article <Bx81Ho.9HL@cantua.canterbury.ac.nz> wft@math.canterbury.ac.nz 
  14. (Bill Taylor) writes:
  15.  
  16.    >A = { 1 , { 2 , { 3 , { 4 , {.....}}}}}
  17.    >B = { 1 , { 1 , { 1 , { 1 , {.....}}}}}
  18.    >Can B above, be obtained from A above, by ZF methods.
  19.  
  20.   The question is vague in several respects, but the most likely
  21. answer is no. A, to put this into formal ZF terms, is, let us say, the
  22. range of a function f defined on the natural numbers, where
  23. f(n)={n,f(n+1)} for all n.  Assuming the existence of such a function
  24. in ZF (without foundation) does not in any obvious way (and hence not
  25. at all, by the argument from experience) imply the existence of a set
  26. x such that x={1,x}.  In particular, Replacement by itself is no help
  27. since to get x using replacement, we need to define a function h by
  28. h(n)=G(f(n)), where G({a,b})={1,G(b)}, and there is no way of defining
  29. G in ZF (without foundation) so that this is provable. In other words:
  30. Replacement allows us to make infinite "substitutions" in sets, but to
  31. make infinite substitutions in non-well-founded sets we need a
  32. corresponding non-well-founded recursion principle.
  33.  
  34.   Of course, even if this is correct it doesn't follow that accepting
  35. A and rejecting B makes any sense. Or in other words: it doesn't help
  36. explain what mathematical objects, if any, you have in mind.
  37.