home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / fractals / 298 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-09  |  1.7 KB  |  44 lines
  1. Newsgroups: sci.fractals
  2. Path: sparky!uunet!mnemosyne.cs.du.edu!nyx!lmitchel
  3. From: lmitchel@nyx.cs.du.edu (lloyd mitchell)
  4. Subject: Re: Newton's Method
  5. Message-ID: <1992Nov9.113335.8516@mnemosyne.cs.du.edu>
  6. Sender: usenet@mnemosyne.cs.du.edu (netnews admin account)
  7. Organization: University of Denver, Dept. of Math & Comp. Sci.
  8. Date: Mon, 9 Nov 92 11:33:35 GMT
  9. Lines: 33
  10.  
  11. In article <1992Nov8.221326.11267@gagme.chi.il.us> modus@gagme.chi.il.us (Patrick M. Kane) writes:
  12. >I recently read the book FRACTAL PROGRAMMING IN PASCAL and have a question
  13. >relating to the generation of Newton's Method fractals.  The following code
  14. >fragment iterates the equation z^3-1=0 :
  15. >xsquare= x * x
  16. >ysquare = y * y
  17. >denom = 3 * ((xsquare - ysquare) * (xsquare - yswaure) - 4 * xsquare *
  18. >ysquare)
  19. >IF denom = 0 then denom = 0.0000001
  20. >x = (2/3) * x + (xsquare - ysquare) / denom
  21. >y = (2/3) * y - (2 * x * y) / denom
  22. >
  23. >This does, of course, work beautifully.  However, with my high school calculus
  24. >skills, I am unable to understand WHY.  Could someone please e-mail or post a
  25. >step by step explanation of each part of the above fragment?  Any help is
  26. >appreciated.
  27. >
  28. >Patrick Kane
  29.  
  30. If we use z for x+iy, then Newton's method for z^3 - 1 = 0 would be:
  31.  
  32. z = z - f/f', where f = z^3 - 1 and f' is the derivative of f with respect
  33. to z, or 3z^2 in this case.  Thus,
  34.  
  35. z = z - (z^3 - 1)/3z^2 = z - z^3/3z^2 + 1/3z^2 = z - z/3 + 1/3z^2,
  36. z = 2/3*z + 1/3z^2.
  37.  
  38. So the first term in your x and y equations is the 2/3*z term.  To get the
  39. 1/3z^2 term, your program uses z^2/(3*|z^4|), which is the same thing.  So
  40. 'denom' is 3 times the magnitude of z^4.  xsquare - ysquare is the real
  41. part of z^2, and 2*x*y is the imaginary part.
  42.  
  43. Kerry Mitchell
  44.