home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / fractals / 281 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-05  |  3.2 KB  |  71 lines
  1. Newsgroups: sci.fractals
  2. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!decwrl!spool.mu.edu!sgiblab!cs.uoregon.edu!news.uoregon.edu!nntp.uoregon.edu!cie.uoregon.edu!scavo
  3. From: scavo@cie.uoregon.edu (Tom Scavo)
  4. Subject: Re: Is this thing a fractal?
  5. Message-ID: <1992Nov5.181057.15032@nntp.uoregon.edu>
  6. Keywords: dimension.
  7. Sender: news@nntp.uoregon.edu
  8. Organization: University of Oregon Campus Information Exchange
  9. References: <1992Oct28.175819.4696@nntp.uoregon.edu> <1992Oct29.193113.13763@murdoch.acc.Virginia.EDU> <1816@spam.ua.oz>
  10. Date: Thu, 5 Nov 92 18:10:57 GMT
  11. Lines: 58
  12.  
  13. In article <1816@spam.ua.oz> ahanysz@spam.ua.oz (Alexander Hanysz) writes:
  14. >
  15. >Now I'm going to ask that eternally difficult question: WHY?  The
  16. >Mandelbrot set is such a complicated object, how do we know that its
  17. >boundary has topological dimension 1?
  18.  
  19. A proof was given earlier in this thread by Gerald Edgar.
  20.  
  21. >More fundamentally, does anyone know a nice _definition_ of topological
  22. >dimension?  It's hard to argue when you don't know what the terms mean.
  23. >All I've been told about topological dimension is "a line has dimension
  24. >1, a surface has dimension 2, a volume..."  I have yet to see a formal
  25. >definition.
  26.  
  27. I suspect that others have the same question so here goes:
  28.  
  29.    A set has topological dimension  0  if every point has arbitrarily
  30.    small neighborhoods whose boundaries do not intersect the set.
  31.  
  32.    A set  S  has topological dimension  k  if each point in  S  has
  33.    arbitrarily small neighborhoods whose boundaries meet  S  in a
  34.    set of dimension  k-1 , and  k  is the least nonnegative integer
  35.    for which this holds.
  36.  
  37. See, for example, Section 14.5 in Devaney's _A First Course in Chaotic
  38. Dynamical Systems_.  (Does anyone know of a better reference?)
  39.  
  40. For instance, the rationals have topological dimension  0  since the
  41. boundary of a disk with irrational radius fails to intersect the
  42. rationals (that is, the sum of a rational and an irrational is
  43. irrational).  The irrationals also have topological dimension  0 ,
  44. I believe.  Suppose it were true that (1) if  A  is a subset of  X ,
  45. then the  t-dim A <= t-dim X ; and (2) for any  A  in  R^n , t-dim A
  46. = n  if and only if  A  contains a nonempty open subset of  R^n .
  47. Then by (1) the irrationals have topological dimension no bigger than
  48. 1.  But by (2) they can not have topological dimension equal to  1
  49. since they contain no open subset.  Hence, they have topological
  50. dimension  0 .  (Can anyone think of a simpler proof?)
  51.  
  52. Here's another example.  Consider the fractal generated by the 
  53. following geometric transformation:
  54.  
  55.                                   _____
  56.                                  |     |
  57.                                  |     |
  58.      ---------------   -->   -----     -----
  59.  
  60. Each leg of this "hat" is one-third the length of the original line
  61. segment.  Now the fractal dimension of the resulting image is
  62. log 5 / log 3 , but the topological dimension is  1  since any disk
  63. intersects the curve at a set of discrete points having topological
  64. dimension  0 .  (There's a related exercise in Devaney that I can't
  65. solve:  Can a fractal that is totally disconnected, with topological
  66. dimension  0 , have a fractal dimension larger than  1 ?)
  67.  
  68. -- 
  69. Tom Scavo
  70. scavo@cie.uoregon.edu
  71.