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/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13230 < prev    next >
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Text File  |  1992-10-15  |  2.8 KB  |  57 lines

  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  3. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  4. Subject: What a weird group!!!
  5. Message-ID: <1992Oct15.045312.13089@galois.mit.edu>
  6. Sender: news@galois.mit.edu
  7. Nntp-Posting-Host: riesz
  8. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  9. Date: Thu, 15 Oct 92 04:53:12 GMT
  10. Lines: 45
  11.  
  12. No, I'm not referring to sci.math.  I'm referring to the Bohr
  13. compactification of the real numbers, something I just learned about.
  14. This is, of course, due not to Niels Bohr but to his brother Harald.
  15.  
  16. From an exercise in a book:  The Bohr compactification of the real
  17. numbers is a compact topological group which contains the real numbers
  18. as a dense set.  The embedding of the reals into the Bohr group is not a
  19. homeomorphism.
  20.  
  21. Well, actually that in itself is not so weird now that I think of it.
  22. One can embed the real numbers in the torus as a subgroup, namely a line
  23. of irrational slope, and then it's dense but the image of the reals in
  24. the torus with the induced topology is not homeomorphic to the reals
  25. with their usual topology.  (I think this is what was meant by the
  26. exercise above, by the way.)  
  27.  
  28. But I bet the Bohr group is a lot weirder than the torus.  
  29.  
  30. Here's how you get it.  Recall that there is a 1-1 correspondence
  31. between compact Hausdorff spaces and a certain class of algebras called
  32. C*-algebras.  The map one way is easy.  You just take your space X and
  33. form C(X), the algebra of continuous complex-valued functions on X.
  34. The algebras you get have certain properties and have been described
  35. axiomatically, which is the point of the definition of (commutative
  36. unital) C*-algebras.  Then the Gelfand-Naimark theorem says that any
  37. algebra satisfying this definition really is C(X) for some compact
  38. Hausdorff X, and tells you how to "construct" X.
  39.  
  40. Okay, so Bohr was interested in almost periodic functions on R.
  41. These may be defined as follows.  Consider the space of functions on R
  42. that are finite linear combinations of functions exp(ikx).  Then take
  43. the closure of this space in L^infty(R).  These are the almost periodic
  44. functions.  There's another definition too, that makes it clearer in
  45. exactly what sense they are "almost" periodic.  
  46.  
  47. The point here is that they clearly form a subalgebra of L^infty(R) and
  48. because this algebra is a closed subspace of L^infty(R) one easily
  49. checks that it is a (commutative unital) C*-algebra.  Thus by
  50. Gelfand-Naimark there is some compact Hausdorff space X out there such
  51. that this algebra is really just C(X).  This X is the Bohr group.  Of
  52. course, one has to show it's a group.  I imagine one simply extends the
  53. group structure from R to this group in a unique continuous manner,
  54. using the fact that R is dense in X.  
  55.  
  56. But what does this group *look like*??  That's what I'd like to know!!
  57.