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/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13184 < prev    next >
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Text File  |  1992-10-14  |  2.8 KB  |  57 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!cs.utexas.edu!sun-barr!ames!haven.umd.edu!darwin.sura.net!zaphod.mps.ohio-state.edu!sol.ctr.columbia.edu!eff!news.byu.edu!ux1!mica.inel.gov!guinness!garnet.idbsu.edu!holmes
  3. From: holmes@garnet.idbsu.edu (Randall Holmes)
  4. Subject: Re: consequences of the Axiom of Choice
  5. Message-ID: <1992Oct14.181013.3894@guinness.idbsu.edu>
  6. Keywords: Axiom of choice; Cartesian product
  7. Sender: usenet@guinness.idbsu.edu (Usenet News mail)
  8. Nntp-Posting-Host: garnet
  9. Organization: Boise State University
  10. References: <1992Oct1.152704.16387@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> <1af9g6INN6d2@function.mps.ohio-state.edu> <1992Oct9.192054.11140@ariel.ec.usf.edu>
  11. Date: Wed, 14 Oct 1992 18:10:13 GMT
  12. Lines: 43
  13.  
  14. In article <1992Oct9.192054.11140@ariel.ec.usf.edu> mccolm@darwin.math.usf.edu. (Gregory McColm) writes:
  15. >In article <1af9g6INN6d2@function.mps.ohio-state.edu> edgar@function.mps.ohio-state.edu (Gerald Edgar) writes:
  16. >>In article <1992Oct1.152704.16387@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  17. >>>Bertrand Russell used to explain choice this way.  Imagine you are
  18. >>>blessed with infinitely many pairs of shoes and socks.  You wish to
  19. >>>choose one of each pair.  With the shoes it is easy:  you could take
  20. >>>all the left ones, or all the right ones.  But can you choose one sock
  21. >>>from each pair?  To claim that you can is to assert the axiom of
  22. >>>choice.
  23. >>
  24. >>So, let's try to find a good mathematical example to illustrate Russel's
  25. >>explanation.  Explicitly find a countably infinite set S of (unordered) pairs,
  26. >>for which a choice function is not obvious.  [More technical details.
  27. >>The set S should be explicitly and uniquely specified in the language of ZF.
  28. >>It should be provable in ZF that it is a countable set of pairs.]
  29. >>
  30. >>An UNCOUNTABLE set of pairs with no obvious choice function is
  31. >>easy: take the set of ALL pairs of sets of real numbers.
  32. >>-- 
  33. >
  34. >
  35. >Won't work:  given any pair {r,s}, choose the smaller one.  
  36. >In fact, no set with a constructible linear order will work, 
  37. >and an infinite set with no constructible linear ordering 
  38. >will be a strange beast indeed.
  39. >
  40. >-----Greg McColm
  41.  
  42. On the contrary, the set of equivalence classes of real numbers of
  43. real numbers under tail equivalence of decimal expansions (eventual
  44. equivalence of some decimal expansion) can fail to have a
  45. constructible linear ordering, I believe.  Of course, under V = L, it
  46. does, but the order is not natural...  The identical consideration
  47. applies to the set of equivalence classes of sets of natural numbers
  48. under the relation of having finite symmetric difference (essentially
  49. the same example).  These may be "strange beasts", of course...
  50.  
  51.  
  52. -- 
  53. The opinions expressed        |     --Sincerely,
  54. above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  55. opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  56. or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  57.