home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13157 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-13  |  1.9 KB
  1. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!ames!elroy.jpl.nasa.gov!usc!zaphod.mps.ohio-state.edu!malgudi.oar.net!caen!uflorida!usf.edu!darwin!mccolm
  2. From: mccolm@darwin.math.usf.edu. (Gregory McColm)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: consequences of the Axiom of Choice
  5. Keywords: Axiom of choice; Cartesian product
  6. Message-ID: <1992Oct9.192054.11140@ariel.ec.usf.edu>
  7. Date: 9 Oct 92 19:20:54 GMT
  8. References: <1992Oct1.084836.14057@infodev.cam.ac.uk> <1992Oct1.152704.16387@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> <1af9g6INN6d2@function.mps.ohio-state.edu>
  9. Sender: news@ariel.ec.usf.edu (News Admin)
  10. Organization: Univ. of South Florida, Math Department
  11. Lines: 26
  12.  
  13. In article <1af9g6INN6d2@function.mps.ohio-state.edu> edgar@function.mps.ohio-state.edu (Gerald Edgar) writes:
  14. >In article <1992Oct1.152704.16387@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  15. >>Bertrand Russell used to explain choice this way.  Imagine you are
  16. >>blessed with infinitely many pairs of shoes and socks.  You wish to
  17. >>choose one of each pair.  With the shoes it is easy:  you could take
  18. >>all the left ones, or all the right ones.  But can you choose one sock
  19. >>from each pair?  To claim that you can is to assert the axiom of
  20. >>choice.
  21. >
  22. >So, let's try to find a good mathematical example to illustrate Russel's
  23. >explanation.  Explicitly find a countably infinite set S of (unordered) pairs,
  24. >for which a choice function is not obvious.  [More technical details.
  25. >The set S should be explicitly and uniquely specified in the language of ZF.
  26. >It should be provable in ZF that it is a countable set of pairs.]
  27. >
  28. >An UNCOUNTABLE set of pairs with no obvious choice function is
  29. >easy: take the set of ALL pairs of sets of real numbers.
  30. >-- 
  31.  
  32.  
  33. Won't work:  given any pair {r,s}, choose the smaller one.  
  34. In fact, no set with a constructible linear order will work, 
  35. and an infinite set with no constructible linear ordering 
  36. will be a strange beast indeed.
  37.  
  38. -----Greg McColm
  39.