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/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13099 < prev    next >
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Text File  |  1992-10-13  |  2.1 KB  |  50 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!mcsun!Germany.EU.net!ira.uka.de!uni-heidelberg!euterpe!gsmith
  3. From: gsmith@euterpe.uucp (Gene W. Smith)
  4. Subject: Re: Area of five sided polygon needed
  5. Message-ID: <1992Oct13.134257.14192@sun0.urz.uni-heidelberg.de>
  6. Sender: news@sun0.urz.uni-heidelberg.de (NetNews)
  7. Organization: IWR, University of Heidelberg, Germany
  8. References: <1992Oct12.200125.826@altair.selu.edu> <1992Oct13.040617.16321@husc3.harvard.edu>
  9. Date: Tue, 13 Oct 92 13:42:57 GMT
  10. Lines: 38
  11.  
  12. In article <1992Oct13.040617.16321@husc3.harvard.edu>
  13. kubo@birkhoff.harvard.edu (Tal Kubo) writes:
  14. >In article <1992Oct12.200125.826@altair.selu.edu>
  15. fcs$1224@altair.selu.edu writes:
  16.  
  17. >>Given a five sided polygon, is there a formula, in terms
  18. >>of its sides, for the area?
  19.  
  20. >No, the sides don't uniquely determine the area, but...
  21.  
  22. >1. There is a formula (due to Moebius?) for the area, S, in terms of the
  23. >   areas of the triangles A,B,C,D,E cut off by the diagonals:
  24. >
  25. >        S^2 - (A+B+C+D+E)S + (AB+BC+CD+DE+EA) = 0
  26.  
  27. A curious fact about the above is that it us a resolvent. If a,b,c,d,e
  28. are the ordered roots of a polynomial over F with Galois group dihedral
  29. or cyclic, then the above polynomial has coefficients in F.  If the
  30. Galois group is cyclic, then the above polynomial factors over F. 
  31. Hence an irreducible degree five polynomial can be tested for having
  32. Galois group D5 or C5 by seeing if the  polynomial above has
  33. coefficients in the field for some ordering of the roots.  
  34.  
  35. Supposing the roots are all real and positive and come from the areas
  36. of of triangles, if the total area s is F-rational, but the areas of
  37. the five triangles are of degree 5 over F, then the group is cyclic.
  38.  
  39. I presume there is a reason for this.  Maybe looking at what happens when
  40. you try to find actual triangles which work, given the areas and the
  41. fact that they fit together into a pentagon would help explain it.
  42.  
  43. >3. I've heard of Brahmagupta-type polynomial equations for the areas of
  44. >   *cyclic* N-gons, in terms of their sides.
  45.  
  46. These work like Heron's formula.
  47. -- 
  48.      Gene Ward Smith/Brahms Gang/IWR/Ruprecht-Karls University 
  49.                gsmith@kalliope.iwr.uni-heidelberg.de
  50.