home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13077 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-12  |  2.5 KB
  1. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!sgiblab!sdd.hp.com!elroy.jpl.nasa.gov!news.claremont.edu!ucivax!news.service.uci.edu!beckman.com!dn66!a_rubin
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: Linearity question
  4. Message-ID: <a_rubin.718923697@dn66>
  5. From: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin)
  6. Date: 12 Oct 92 21:01:37 GMT
  7. References: <105268@siemens.siemens.com>
  8. Organization: Beckman Instruments, Inc.
  9. Nntp-Posting-Host: dn66.dse.beckman.com
  10. Lines: 62
  11.  
  12. In <105268@siemens.siemens.com> kostas@siemens.com. (Konstantinos Diamantaras) writes:
  13.  
  14. >Hi netters,
  15.  
  16. >in the course of my research I came up with the following,
  17. >I think iteresting question
  18.  
  19. >Suppose I have a continuous real function f(x) of a single
  20. >real parameter x. I want to "design" two functions which
  21. >I will call "addition" (+) and "multiplication" (*)
  22. >(clearly not the usual ones) such that f is linear in them
  23.  
  24. >f(x+y)=f(x)+f(y), f(a*x)=a*f(x)
  25.  
  26. >In addition, I would like these functions to have some of the
  27. >standard addition and multiplication properties. In particular,
  28.  
  29. >(a) I want both functions to be smooth
  30. >    (first derivative exists is enough for the moment)
  31. >(b) I want both to be abelian groups (with respect to the real
  32. >    numbers)
  33. >(c) I want them to have the property
  34. >    (x+y)*z = (x*z)+(y*z)
  35.  
  36. Are you trying to say, in (b) that:
  37.  
  38. (R,+) forms a group with identity z.
  39. (R - {z},*) forms a group with identity e.
  40.  
  41. ?
  42.  
  43. Or equivalently, that (b) and (c) state that (R,'+','*') forms a field?
  44.  
  45. If so, I have a partial solution:
  46.  
  47. f(x) = f(e '*' x) = x '*' f(e)
  48.  
  49. Conversely, if we assume we have "+" and "*", then writing f(x) = x '*' q,
  50.  
  51. f(x '+' y) = (x '+' y) '*' q = (x '*' q) '+' (y '* 'q) = f(x) '+' f(y), and
  52. f(a '*' x) = (a '*' x) '*' q = a '*' (x '*' q) = a '*' f(x).
  53.  
  54. If we assume, as I  believe must be the case, that (R,'+','*') must be
  55. isomorphic to (R,+,*), there is a 1-1 function k such that:
  56.  
  57. k(x '+' y) = k(x) + k(y), and
  58. k(x '*' y) = k(x) * k(y), and, finally,
  59.  
  60. k(f(x)) = k(x '*' q) = k(x) k(q).
  61.  
  62. I don't want to work out the necessary conditions for k to exist here, but
  63. it is clear that if f has a first derivative, f(0) = 0 < f'(0) ~= 1, 
  64. 0 < f'(x), f has no other fixed points, and f maps R onto R, then we can
  65. choose a smooth k with k'(0) = 1 such that k(f(x)) = k(x) f'(0).
  66.  
  67.  
  68.  
  69. --
  70. Arthur L. Rubin: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (work) Beckman Instruments/Brea
  71. 216-5888@mcimail.com 70707.453@compuserve.com arthur@pnet01.cts.com (personal)
  72. My opinions are my own, and do not represent those of my employer.
  73. My interaction with our news system is unstable; please mail anything important.
  74.