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/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13044 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-12  |  1.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!olivea!spool.mu.edu!darwin.sura.net!sgiblab!munnari.oz.au!manuel.anu.edu.au!rsphy1.anu.edu.au!rwc124
  2. From: rwc124@rsphy1.anu.edu.au (Roderick Vance)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Eigenvalue Problem
  5. Message-ID: <1bbhekINN3e@manuel.anu.edu.au>
  6. Date: 12 Oct 92 09:44:52 GMT
  7. Reply-To: rwc124@rsphy1.anu.edu.au (Roderick Vance)
  8. Organization: Optical Sciences Centre, Australian National University
  9. Lines: 56
  10. NNTP-Posting-Host: 150.203.15.51
  11.  
  12. My question concerns the eigenvalue equation:
  13.  
  14.  (del^2 + k^2 n(x,y)^2) psi = beta^2 psi
  15.  
  16. where psi is a function of the rectangular co-ordinates (x,y)
  17.       del^2 is the two dimensional Laplacian d2/dx2 + d2/dy2
  18. and   beta is the real eigenvalue.
  19.  
  20. This equation is gotten from the three dimensional Helmholtz 
  21. equation when we assume a three dimensional solution of the form
  22.  
  23.    psi(x,y) exp(-i beta z)
  24.  
  25. My question is: when can there be two or more linearly independent
  26. solutions psi1(x,y), psi2(x,y), ...  corresponding to the SAME 
  27. eigenvalue. 
  28.  
  29. More generally - if psi  belongs to a linear (Hilbert) space and
  30. L is a linear operator mapping the space into (or onto) itself, then
  31. when can there be two linearly independent solutions to
  32.  
  33.  L psi = beta^2 psi
  34.  
  35. and what properties must L have so that there can be two or more
  36. eigenvectors?
  37.  
  38. Trivial Example: The 3x3 matrix 
  39.  
  40. k0 k1 k1
  41. k1 k0 k1
  42. k1 k1 k0
  43.  
  44. has two linearly independent eigenvectors
  45.  
  46. -1
  47. 0
  48. 1
  49.  
  50. and
  51.  
  52. -1
  53. 1
  54. 0
  55.  
  56. that correspond to the eigenvalue k0 - k1.
  57.  
  58.  
  59.  
  60. I'd be most greatful for hints/thoughts about the above.
  61.  
  62. Many thanks in advance
  63.  
  64.  
  65. Roderick Vance
  66. Optical Sciences Centre
  67. Australian National  University
  68.