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/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13010 < prev    next >
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Text File  |  1992-10-10  |  2.0 KB  |  43 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!magnus.acs.ohio-state.edu!wjcastre
  3. From: wjcastre@magnus.acs.ohio-state.edu (W.Jose Castrellon G.)
  4. Subject: Re: Order -> Algebraic Structure
  5. Message-ID: <1992Oct10.161042.19021@magnus.acs.ohio-state.edu>
  6. Keywords: Rationals,Dense Ordering,Algebraic Structure
  7. Sender: news@magnus.acs.ohio-state.edu
  8. Nntp-Posting-Host: bottom.magnus.acs.ohio-state.edu
  9. Organization: The Ohio State University,Math.Dept.(studnt)
  10. References: <BvvuD8.I26@world.std.com>
  11. Date: Sat, 10 Oct 1992 16:10:42 GMT
  12. Lines: 29
  13.  
  14. In article <BvvuD8.I26@world.std.com> rjk@world.std.com (robert j kolker)
  15. writes:
  16.  
  17. >Let H be a denumerable completely ordered set, where the ordering is
  18. >dense, and there are no maximum or minumum elements. It is well known that
  19. >any two sets having these properties are order isomorphic. 
  20. >
  21. >The set of rationals Q is a fortiori this set (up to an isomorphism).
  22. >Clearly the seemingly innocent densely ordered set inherits its algebraic
  23. >properties via this isomorphism or does it? 
  24. >
  25. >Is there someway of showing independent of this coincidental isomorphism ,
  26. >that denumerable,densely ordered -> the algebraic structure of Q, i.e. Q
  27. >is a denumerable field or characteristic 0.
  28. >
  29. >Your input would be appreciated.
  30. >
  31.  
  32. I think it is not possible to prove a statement along those lines, as one
  33. can cook up examples of denumerable densely ordered fields of characteris-
  34. tic zero that dont have the same global properties of Q ; for example Q is
  35. an Archimedean field (i.e given any positive element  x, and an arbitrary 
  36. positive  y, one of  x, x+x, x+x+x, ... will be greater than y) : one field 
  37. that doesn't have that property is the set of quotients of polynomials 
  38. in one variable, with rational coefficients, where you say that p(x)/q(x)
  39. is positive if the limit as x goes to infinity is positive. It is not hard
  40. to see that this is a densely denumerable non-Archimedean field of char 0.
  41. It looks like an interesting question, IMO to ask what additional hypotheses
  42. could characterize the structure of Q, or of other fields.
  43.