home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 12979 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-09  |  2.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!portal!lll-winken!ames!haven.umd.edu!darwin.sura.net!zaphod.mps.ohio-state.edu!swrinde!news.dell.com!pmafire!mica.inel.gov!guinness!garnet.idbsu.edu!holmes
  2. From: holmes@garnet.idbsu.edu (Randall Holmes)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Question on real numbers
  5. Message-ID: <1992Oct9.163013.18377@guinness.idbsu.edu>
  6. Date: 9 Oct 92 16:30:13 GMT
  7. References: <1992Oct8.211117.19295@rz.uni-karlsruhe.de>
  8. Sender: usenet@guinness.idbsu.edu (Usenet News mail)
  9. Organization: Boise State University
  10. Lines: 49
  11. Nntp-Posting-Host: garnet
  12.  
  13. In article <1992Oct8.211117.19295@rz.uni-karlsruhe.de> vhansen@ipfs.bau-verm.uni-karlsruhe.de (Wolfgang von Hansen) writes:
  14. >Hi everybody,
  15. >
  16. >is it possible to express any real number x with the following term
  17. >
  18. >x = a + rb;  a, b \in Q; r \in R, r const.
  19. >
  20. >Some more words to explain what I mean:
  21. >I was wondering if there is an analogon between the real numbers and
  22. >the complex numbers.
  23. >
  24. >It is well known that any complex number c can be
  25. >written as an ordered pair of real numbers a, b: c = (a, b).
  26. >Operations can be done by using i := (0, 1) to write c = a + ib. 
  27. >Knowing that i * i = -1 one can perform complex arithmetics by using
  28. >only the rules for real numbers.
  29. >
  30. >My idea is to write any real number as a pair of rational numbers
  31. >one of them multiplied with a constant real number r (see above).
  32. >a is not necessarily (spelling? ;-) different from null. A useful value
  33. >for r may be \sqrt(n), n \in N, because r * r = n is easy to handle.
  34. >This representation of the real numbers might improve the speed
  35. >and/or accuracy of algorithms on computers since all calculations are
  36. >done with rational numbers.
  37. >
  38. >There are some things left to do:
  39. >1. Proove if it is (not) possible.
  40. >2. Find a good value for r. (How many different values for r are
  41. >   existing? none, one, finite, infinite?)
  42. >3. Find algorithm(s) to convert real numbers.
  43. >
  44. >I'd be very happy if someone could give me some hints how to deal with
  45. >these tasks. I'm afraid that there are some non-trivial problems
  46. >to solve.
  47. >
  48. >Thanks for paying attention, Wolfgang
  49.  
  50. This is impossible.  The easiest argument is from cardinality; there
  51. are too few numbers a + br (for any r).  They can all be listed and
  52. then Cantor diagonalization can be carried out on them.  Even a list
  53. of r_{i}'s for all i E n does not span the reals.  A spanning set for
  54. the reals has uncountable cardinality.
  55.  
  56.  
  57. -- 
  58. The opinions expressed        |     --Sincerely,
  59. above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  60. opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  61. or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  62.