home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 12973 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-09  |  1.5 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!uknet!keele!nott-cs!lut.ac.uk!
  2. From: A.H.Osbaldestin@lut.ac.uk (Andy Osbaldestin)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Reciprocals of Fibonaccis
  5. Message-ID: <A.H.Osbaldestin-091092152800@maaho_mac.lut.ac.uk>
  6. Date: 9 Oct 92 14:37:08 GMT
  7. References: <1992Oct08.195919.81736@Cookie.secapl.com>
  8. Sender: @lut.ac.uk
  9. Followup-To: sci.math
  10. Organization: Loughborough University, U.K.
  11. Lines: 30
  12. Nntp-Posting-Host: maaho_mac.lut.ac.uk
  13.  
  14. In article <1992Oct08.195919.81736@Cookie.secapl.com>,
  15. frank@Cookie.secapl.com (Frank Adams) wrote:
  16. > 
  17. > This is a problem I've worked on off and on for several years, without
  18. > getting much of anywhere:
  19. > 
  20. > What is the sum of the reciprocals of the positive Fibonacci numbers?  (That
  21. > is, Sum(n>0, 1/F_n).)
  22. > 
  23. > Numerically, it is about 3.359885666243177.  The continued fraction starts:
  24. > 
  25. > 3,2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,3,1
  26. > 
  27. > I'm not sure about the last two numbers here; the final 3 could be 4.  The
  28. > small numbers suggest the result may be algebraic.
  29. > 
  30. > Closely related is the sum of the reciprocals of the Lucas numbers
  31. > L_n = F_n-1 + F_n+1.  Sum(n>=0, 1/L_n) is about 2.462858173209645; the
  32. > continued fraction starts approximately,
  33. > 
  34. > 2,2,6,4,3,31,2,1,1,1,1,2,3,2,1,3,10
  35. > 
  36. > Does anybody know anything about these numbers?
  37.  
  38. The best reference I know for this problem is the book "Pi and the AGM" by
  39. J M & P B Borwein. Section 3.7 is what you want. The series are expressible
  40. in terms of theta functions and Lambert series.
  41.  
  42. Regards,
  43. Andy Osbaldestin
  44.