home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 12961 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-09  |  2.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!pipex!warwick!str-ccsun!strath-cs!cen.ex.ac.uk!rjchapma
  2. From: rjchapma@cen.ex.ac.uk (R.J.Chapman)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Reciprocals of Fibonaccis
  5. Message-ID: <BvuIoo.1s3@cen.ex.ac.uk>
  6. Date: 9 Oct 92 08:38:46 GMT
  7. References: <1992Oct08.195919.81736@Cookie.secapl.com>
  8. Sender: rjchapma@cen.ex.ac.uk
  9. Organization: Computer Unit. - University of Exeter. UK
  10. Lines: 42
  11. In-Reply-To: frank@Cookie.secapl.com's message of 8 Oct 92 19:59:19 GMT
  12.  
  13. In article <1992Oct08.195919.81736@Cookie.secapl.com> frank@Cookie.secapl.com (Frank Adams) writes:
  14.  
  15. >   This is a problem I've worked on off and on for several years, without
  16. >   getting much of anywhere:
  17. >
  18. >   What is the sum of the reciprocals of the positive Fibonacci numbers?  (That
  19. >   is, Sum(n>0, 1/F_n).)
  20. >
  21. >   Numerically, it is about 3.359885666243177.  The continued fraction starts:
  22. >
  23. >   3,2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,3,1
  24. >
  25. >   I'm not sure about the last two numbers here; the final 3 could be 4.  The
  26. >   small numbers suggest the result may be algebraic.
  27. >
  28. >   Closely related is the sum of the reciprocals of the Lucas numbers
  29. >   L_n = F_n-1 + F_n+1.  Sum(n>=0, 1/L_n) is about 2.462858173209645; the
  30. >   continued fraction starts approximately,
  31. >
  32. >   2,2,6,4,3,31,2,1,1,1,1,2,3,2,1,3,10
  33. >
  34. >   Does anybody know anything about these numbers?
  35.  
  36.  
  37. Landau gave formulae for Sum(n>0, 1/F_2n) and Sum(n>0, 1/F_{2n-1})
  38. in terms of Lambert series, and Jacobi theta functions respectively.
  39. Proofs can be found in
  40.  
  41. P. Ribenboim, "Representation of real numbers by means of Fibonacci numbers",
  42. L'Enseignment Math., v.31 pp. 249-259.
  43.  
  44. These formulae are set as exercises, together with the formula for
  45. Sum(n>0, 1/L_2n) in
  46.  
  47. Borwein & Borwein: Pi and the AGM, Wiley, 1987,
  48.  
  49. an amazing book!
  50. --
  51. Robin J. Chapman                 *
  52. Department of Mathematics        *
  53. University of Exeter, UK         *
  54. R.J.Chapman@cen.exeter.ac.uk     *
  55. -- 
  56. Robin J. Chapman                 *
  57. Department of Mathematics        *
  58. University of Exeter, UK         *
  59. R.J.Chapman@cen.exeter.ac.uk     *
  60.